Lähdekoodi sivulle Digitaalipiirit/Loogiset operaatiot

{{Digitaalipiirit}}
Tällä sivulla käsitellään lyhytsanaisesti digitaalitekniikan peruskäsitteitä ennen syvempää perehtymistä digitaalipiireihin.

== Boolen Algebra ==
Boolen algebran perusperiaatteeseen kuuluu kaksi arvoa, nämä arvot ovat "tosi" ja "epätosi". Matematiikan helpottamiseksi "tosi" -arvo merkitään luvulla 1 (yksi), ja "epätosi" -arvo merkitään luvulla 0 (nolla). Seuraavaksi näytetään boolen algebran peruslaskutoimitukset:

;yhteenlasku:
*1 + 1 = 1.
*1 + 0 = 1.
*0 + 0 = 0.
Huom. Boolen algebrassa on ainoastaan kaksi arvoa (1 ja 0), joten yhteenlaskusta 1 + 1 tulee vastaukseksi 1.

;kertolasku:
*1 * 1 = 1.
*1 * 0 = 0.
*0 * 0 = 0.

=== Komplementointi eli negaatio (EI-operaatio) ===
Tunnetaan myös nimellä Inversio. EI-operaatio kääntää sille annetun arvon, kuten alla olevasta esimerkistä huomaa, tulee  ykkösestä nolla, ja toisinpäin nollasta tulee ykkönen. Matemaattisesti EI-operaatiota merkataan "!" (huutomerkki) symbolilla. Esimerkiksi:

*!1 = 0
*!0 = 1

Koska arvot voivat ainoastaan olla joko 1 tai 0, niin on loogista olettaa että jos luku EI ole yksi, niin sitten se on nolla ja jos luku EI ole nolla, niin sitten se on yksi.

Jos kyseessä on muuttuja joka on aina komplementoitu, käytämme seuraavanlaista merkintätapaa:

<math>\overline{X} = !X</math>

Jossa X:än yläpuolella oleva viiva ilmaisee muuttujan olevan aina oman arvonsa komplementti.

=== Looginen yhteenlasku (TAI-operaatio) ja Looginen Kertolasku (JA-operaatio) ===
Matemaattisesti JA portteja käsitellään kertolaskuina ja TAI portteja käsitellään yhteenlaskuina. Muista, Boolen algebrassa yhteenlaskun tulos ei ylitä arvoa 1, vaan 1 + 1 = 1.

JA ja TAI operaatioiden erojen ymmärtämiseksi on hyvä katsoa alla olevaa totuustaulua:

  '''JA/AND               TAI/OR''' <br>
  X   Y  TULOS         X   Y  TULOS
  0   0    0           0   0    0
  0   1    0           0   1    1
  1   0    0           1   0    1
  1   1    1           1   1    1

JA operaation tapauksessa kummankin kummankin operandin on oltava 1, jotta tulos olisi 1.

TAI operaation tapauksessa riittää, jos kumpi tahansa operandeista on yksi.

==Boolen Algebra==
Boolen järjestelmässä on kaksi tilaa: '''Tosi''' (engl. True) tai '''Epätosi''' (engl. False). Näitä tiloja voidaan esittää useilla eri tavoilla, kuten esimerkiksi: on tai off, yksi tai nolla, kyllä tai ei, jne. Näitä tiloja käsitellään kolmella perusoperaatiolla joita kutsutaan ''loogisiksi operaatioiksi'': '''JA''' (AND), '''TAI''' (OR) ja '''EI''' (NOT). 

Boolen algebran operaatiot ottavat arvoja vastaan kaksi tai enemmän, ja näillä syötetyillä arvoilla jokainen operaatio antaa odotettavanlaisen ulostulon. Nämä ulostulot on myös kirjoitettu ennalta määrättyihin totuustauluihin. Esimerkiksi JA -operaation ulostulo on aina '''epätosi''', paitsi jos kaikki vastaanotetut arvot ovat '''tosia'''.

*Näissä taulukoissa:
** T merkitsee arvoa '''Tosi''' ja
** F merkitsee arvoa '''Epätosi'''.

*Lukuesimerkki: 
**JA-taulukon ensimmäinen rivi ilmaisee että jos A on epätosi ja B on epätosi, niin tulos on epätosi. Saman voi myös ilmaista sanomalla että kun A on 0 ja B on 0, niin tulos on 0, ts. 0 <u>kertaa</u> 0 = 0.
**Taulukon pohjasta näkee, että 1 kertaa 1 on 1.
**TAI-taulukkoa tarkastellessa käytetään <u>plussausta</u> kertomisen sijaan: 0 plus 0 on 0, mutta 0 plus 1 on 1. Samoin 1 plus 1 on 1.
**Kolmas taulukko on EI-taulukko, eli negaatiotaulukko. Negaatiossa arvo kääntyy aina käänteiseksi, eli tosi vaihtuu epätodeksi, ja käänteisessä tapauksessa epätosi vaihtuu todeksi.

{| border=0 align=center width=75%
|+''Totuustaulut''
|- valign="top"
|
{| border=1 align=center cellpadding=5
|+'''JA (AND)'''
|- align="center"
|'''A'''||'''B'''||<math>A \wedge B</math> 
|- align="center"
|F||F||F
|- align="center"
|F||T||F
|- align="center"
|T||F||F
|- align="center"
|T||T||T
|}
|
{| border=1 align=center cellpadding=5
|+'''TAI (OR)'''
|-
|'''A'''||'''B'''||<math>A \vee B</math> 
|- align="center"
|F||F||F
|- align="center"
|F||T||T
|- align="center"
|T||F||T
|- align="center"
|T||T||T
|}
|
{| border=1 align=center cellpadding=5
|+'''EI (NOT)'''
|-
|'''A'''||<math>\bar A</math>
|- align="center"
|F||T
|- align="center"
|T||F
|}
|}

On keinoja yhdistää näitä ilmaisuja jotta saadaan aikaiseksi monimutkaisempia ja hyödyllisempiä digitaalipiirejä. Kun käytetään useampaa operaatioita samoille sisääntuloille on mahdollista luoda monimutkaisempia ulostuloja, esimerkiksi näin:
 A ja B tai C
Totuustaulu näyttäisi seuraavanlaiselta:
{|border=1 cellpadding=5 align=center
|+A ja B tai C
|- 
|'''A'''||'''B'''||'''C'''||'''X'''
|- 
|0||0||0||0
|- 
|0||0||1||1
|- 
|0||1||0||0 
|- 
|0||1||1||1
|- 
|1||0||0||0
|- 
|1||0||1||1
|- 
|1||1||0||1
|- 
|1||1||1||1
|}

Tämä totuustaulu noudattaa seuraavanlaisia sääntöjä:
Jos A ja B ovat tosia, tai C on tosi, silloin X on tosi

===Matemaattiset Operaattorit===
JA operaatiota esittää <math>\wedge</math> symboli tai <math>. \,</math> symboli, missä tapauksessa A JA B näyttäisi tältä <math>A \wedge B \,</math> tai <math>A \cdot B \,</math>.

TAI operaatiota esittää <math>\vee</math> symboli tai <math>+ \,</math> symboli, missä tapauksessa A TAI B näyttäisi tältä <math>A \vee B</math> tai <math>A+B \,</math>.

EI operaatiota esittää <math>\lnot</math> symboli tai <math>\bar{}</math> symboli, missä tapauksessa EI A näyttäisi tältä <math>\neg A</math> tai <math>\bar{A}</math>.

Jos operaatioita yhdistelee saadaan aikaiseksi JA-EI (NAND) ja TAI-EI (NOR) operaatiot:

A '''TAI-EI''' B (ts. A NOR B) on <math>\neg (A \vee B)</math> tai <math>\overline{A+B}</math>

A '''JA-EI''' B (ts. A NAND B) on <math>\neg (A \wedge B) \,</math> tai <math>\overline{A \cdot B}</math>

===Boolen Algebran Säännöt===
Boolen Algebrassa, kuten tavallisessakin algebrassa, on tiettyjä sääntöjä. Nämä säännöt ovat Liitännäisyys eli assosiatiivisuus, Osittelulaki eli distributiivisuus, Kommutatiivisuus eli vaihdannaisuus ja De Morganin Laki. Assosiatiivisuus, distributiivisuus ja vaihdannaisuus koskevat ainoastaan JA ja TAI operaatioita.

====Liitännäisyys eli assosiatiivisuus====
Liitäntä- eli assosiatiivisuuslain mukaan muuttujat voidaan ryhmitellä vapaasti TAI-operaatiossa ja JA-operaatiossa.
:<math>A \vee (B \vee C) = (A \vee B) \vee C  </math>
:<math>A \wedge (B \wedge C) = (A \wedge B) \wedge C  </math>
Tai
:<math>A+(B+C)=(A+B)+C \,</math>
:<math>A \cdot (B \cdot C)=(A \cdot B) \cdot C \,</math>

:[http://fi.wikipedia.org/wiki/Liit%C3%A4nn%C3%A4isyys Liitännäisyys]

====Osittelulaki eli distributiivisuus====
Osittelu- eli distributiivisuuslain mukaan määritellän yhteisen yhteenlaskettavan ja yhteisen tekijän ottaminen.
:<math>A \wedge (B \vee C) = (A \wedge B) \vee (A \wedge C)</math>
Tai
:<math>A \cdot (B+C)=(A \cdot B)+(A \cdot C) \,</math>

:[http://fi.wikipedia.org/wiki/Osittelulaki Osittelulaki]

====Kommutatiivisuus eli vaihdannaisuus====
Vaihdantalaki tarkoittaa sitä, että muuttujien järjestyksellä TAI-operaatiossa ja JA-operaatiossa ei ole merkitystä.
:<math>A \wedge B  = B \wedge A</math>
:<math>A \vee B  = B \vee A</math>
Tai
:<math>A \cdot B=B \cdot A \,</math>
:<math>A+B=B+A \,</math>

:[http://fi.wikipedia.org/wiki/Vaihdannaisuus Vaihdannaisuus]

====De Morganin Laki====
De Morganin kaavat ovat välttämättömiä komplementteja sisältävien lausekkeiden sievennyksessä. Kaavoissa muuttujien lukumäärää ei ole rajoitettu. Kaavojen mukaan lausekkeen päällä olevan komplementtiviiva voidaan jakaa muuttujien päälle, jos samalla muuttujien välinen operaatio vaihdetaan.
De Morgan's Law is a consequence of the fact that the not or negation operator is not distributive.
:<math>\neg(P\wedge Q)=(\neg P)\vee(\neg Q)</math>
:<math>\neg(P\vee Q)=(\neg P)\wedge(\neg Q)</math>
Tai
:<math>\overline{P \cdot Q}=\overline {P}+ \overline {Q}</math>
:<math>\overline{P+Q}=\overline {P} \cdot  \overline {Q}</math>

:[http://fi.wikipedia.org/wiki/De_Morganin_lait De Morganin lait]

====Huomautukset====
On tärkeää huomata että
:<math>A \wedge B \vee C \ne A \wedge (B \vee C)</math> tai <math>A \cdot B+C \ne A \cdot (B+C)</math>
Tämä voidaan nähdä joko JA operaationa jolla on korkeampi etusija, tai että assosiatiivisuus ei koske JA ja TAI operaatioiden välillä, tai että se on pätemätön käyttö distributiivisuudelle.

====Säännöt====
Näiden lakien seurauksena tulee joitakin sääntöjä, joita noudatetaan Boolen Algebrassa.

#<math>A \wedge A=A \,</math>
#<math>A\vee A=A \,</math>
#<math>A\wedge 1=A \,</math>
#<math>A\vee 1=1 \,</math>
#<math>A\wedge 0=0 \,</math>
#<math>A\vee 0=A \,</math>
#<math>A\wedge \neg {A}=0 \,</math>
#<math>A\vee \neg {A}=1 \,</math>
#<math>\neg (\neg {A})=A \,</math>
#<math>A\vee \neg {A}\wedge B= A + B</math>
#<math>\neg {A} \vee A\wedge B= \neg {A} \vee B</math>

Tai vaihtoehtoista merkintätapaa käyttäen

#<math>A \cdot A=A \,</math>
#<math>A+A=A \,</math>
#<math>A \cdot 1=A \,</math>
#<math>A+1=1 \,</math>
#<math>A \cdot 0=0 \,</math>
#<math>A+0=A \,</math>
#<math>A \cdot \bar {A}=0 \,</math>
#<math>A+\bar {A}=1 \,</math>
#<math>\bar \bar {A}=A \,</math>
#<math>A+\bar {A} \cdot B= A + B</math>
#<math>\bar {A} + A \cdot B= \bar {A} + B</math>
'''Tuplanegaatio:''' <br><br><math>\overline{\overline{\,A}}=A</math>

==Duaalisuusperiaate==
Dualisuusperiaatteen mukaan: Jos boolen yhtälössä vaihdamme 'JA' ja 'TAI' operaattorien paikkaa, sekä vaihdamme '0' ja '1' arvojen paikkoja, boolen yhtälön tulos on edelleen oikein.

Esimerkiksi: Jos olemme tietoisia siitä että '''A·(B+C)=A·B+A·C''' tuolloin <br>Vasemman puolen duaali on '''A+B·C'''<br>Oikean puolen duaali on '''(A+B)·(A+C)'''

Duaalisuusperiaatteen mukaan voimme sanoa että '''A+B·C=(A+B)·(A+C)'''

===Esimerkkejä===
Yksinkertaista seuraavat ilmaisut.
#<math>B \wedge A \wedge \neg {A}</math>
#<math>A \wedge \neg {B} \vee A \wedge B</math>
Tai
#<math>B \cdot A \cdot  \bar {A}</math>
#<math>A \cdot  \bar {B} + A \cdot B</math>

Ykköstä varten käytämme sääntöä nro 7. Tästä saamme.

:<math>B\wedge 0=0 \,</math> tai <math>B \cdot 0=0 \,</math>

Mikä sattuu olemaan sääntö 5, joten vastaus on nolla.
Kakkosessa voimme ottaa pois A:n. Tästä saamme
:<math>A \wedge( \neg {B} \vee  B)</math> tai <math>A \cdot  (\bar {B} + B)</math>
Aaltosulkeet ovat sääntö nro 8. Joten vastaus on A.

===Katso myös===
[http://fi.wikipedia.org/wiki/Boolen_logiikka Boolen logiikka]

== Mikä on Totuustaulu? ==
Kytkentäfunktio voidaan määritellä täydellisesti, paitsi kytkentäalgebran lausekkeella, myös taulukkona eli totuustauluna (truth table). Totuustaulussa esitetään piirin toteuttaman funktion arvo kaikilla mahdollisilla muuttujien arvojen kombinaatioilla. Koska muuttujalla on vain kaksi erilaista arvoa, niin erilaisten arvojen kombinaatioiden lukumäärä on 2<sup>n</sup>, jossa n on piirin muuttujien lukumäärä.

== Loogisten perusoperaatioiden totuustaulut ==
Käytämme seuraavaa diagrammia totuustaulujen kirjoittamiseen:

 A ---+--------+
      | Portti |-----Y
 B ---+--------+

Missä A ja B ovat sisääntulot kyseiselle portille, ja Y on ulostulo kyseiseltä portilta. Yleisimmät loogiset portit ovat JA, TAI, EHDOTON-TAI, JA-EI ja invertoitu EHDOTON TAI.

=== AND (JA-operaatio) ===
[[Image:IEC AND label.svg|thumb|right|125px|IEC 60617-12 Standardin mukainen piirtomerkki AND-portille]]
[[Image:Logic-gate-and-us.png|thumb|right|125px|Amerikkalainen piirtomerkki AND-portille]]
JA portilla on seuraavanlainen totuustaulu:
*Sekä A '''JA''' B pitävät olla TOSIA jotta ulostulo Y voisi olla tosi

{|style="width:150px; height:250px; text-align: center;" border="1" cellpadding=5 align=left
|- 
|'''A'''||'''B'''||'''Y'''
|- 
|0||0||0
|- 
|0||1||0
|- 
|1||0||0
|- 
|1||1||1
|}



























=== OR (TAI-operaatio) === 
[[Image:IEC OR label.svg|thumb|right|125px|IEC 60617-12 Standardin mukainen piirtomerkki OR-portille]]
[[Image:Logic-gate-or-us.png|thumb|right|125px|Amerikkalainen piirtomerkki OR-portille]]
TAI portilla on seuraavanlainen totuustaulu:
*Joko A '''TAI''' B  TAI '''MOLEMMAT''' pitää olla TOSI, jotta ulostulo Y olisi tosi


{|style="width:150px; height:250px; text-align: center;" border="1" cellpadding=5 align=center
|- 
|'''A'''||'''B'''||'''Y'''
|- 
|0||0||0
|- 
|0||1||1
|- 
|1||0||1
|- 
|1||1||1
|}

=== XOR (EHDOTON TAI-operaatio) ===
[[Image:IEC XOR label.svg|thumb|right|125px|IEC 60617-12 Standardin mukainen piirtomerkki XOR-portille]]
[[Image:Logic-gate-xor-us.png|thumb|right|125px|Amerikkalainen piirtomerkki XOR-portille]]
EHDOTON TAI portilla on seuraavanlainen totuustaulu:
*Jompikumpi A '''TAI''' B ('''mutta vain toinen''') pitää olla tosi, jotta ulostulo Y olisi tosi

{|style="width:150px; height:250px; text-align: center;" border="1" cellpadding=5 align=center
|- 
|'''A'''||'''B'''||'''Y'''
|- 
|0||0||0
|- 
|0||1||1
|- 
|1||0||1
|- 
|1||1||0
|}

=== NAND (invertoitu JA-operaatio) ===
[[Image:IEC NAND label.svg|thumb|right|125px|IEC 60617-12 Standardin mukainen piirtomerkki NAND-portille]]
[[Image:Logic-gate-nand-us.png|thumb|right|125px|Amerikkalainen piirtomerkki NAND-portille]]
Invertoitu JA portilla on seuraavanlainen totuustaulu:
*Yksinkertaisesti "'''EI JA'''"

{|style="width:150px; height:250px; text-align: center;" border="1" cellpadding=5 align=center
|- 
|'''A'''||'''B'''||'''Y'''
|- 
|0||0||1
|- 
|0||1||1
|- 
|1||0||1
|- 
|1||1||0
|}

=== NOR (invertoitu TAI-operaatio) ===
[[Image:IEC NOR label.svg|thumb|right|125px|IEC 60617-12 Standardin mukainen piirtomerkki NOR-portille]]
[[Image:Logic-gate-nor-us.png|thumb|right|125px|Amerikkalainen piirtomerkki NOR-portille]]
Invertoitu TAI portilla on seuraavanlainen totuustaulu:
*Yksinkertaisesti "'''EI TAI'''"

{|style="width:150px; height:250px; text-align: center;" border="1" cellpadding=5 align=center
|- 
|'''A'''||'''B'''||'''Y'''
|- 
|0||0||1
|- 
|0||1||0
|- 
|1||0||0
|- 
|1||1||0
|}

=== XNOR (invertoitu EHDOTON TAI-operaatio) ===
[[Image:IEC XNOR label.svg|thumb|right|125px|IEC 60617-12 Standardin mukainen piirtomerkki XNOR-portille]]
[[Image:Logic-gate-xnor-us.png|thumb|right|125px|Amerikkalainen piirtomerkki XNOR-portille]]
Invertoitu EHDOTON TAI portilla on seuraavanlainen totuustaulu:

{|style="width:150px; height:250px; text-align: center;" border="1" cellpadding=5 align=center
|- 
|'''A'''||'''B'''||'''Y'''
|- 
|0||0||1
|- 
|0||1||0
|- 
|1||0||0
|- 
|1||1||1
|}

[[en:Digital Circuits/Logic Operations]]