Matematiikka/Kompleksiluvut

Kompleksitaso

Kompleksiluvut on ei-reaalinen lukujoukko. Siinä, missä reaaliluvut ovat yksiulotteisia (voidaan esittää lukusuoralla), niin kompleksiluvut ovat kaksiulotteisia (voidaan esittää kompleksitasossa). Kompleksiluvut ovat muotoa $z=a+bi$, missä $a,b\in ℝ$ ja $i$ on imaginaariyksikkö, jolle pätee $i^2=-1$. Reaalilukujen joukossa -1:n neliöjuurta ei ole määritelty, eikä siis ole reaalilukua, joka korotettuna toiseen potenssiin olisi -1. Kompleksilukujen joukkoa merkitään kirjaimella $ℂ$. Kompleksilukuja ei voida asettaa suuruusjärjestykseen.

Kompleksiluvun $z=a+bi$ liittoluku eli konjugaatti on $z=a-bi$. Kompleksiluvun itseisarvo eli moduli tai moduuli on $\overline{z}=\sqrt{a^2+b^2}$ (joka on sama kuin kompleksiluvun etäisyys origosta).

Kun kompleksiluvut ovat kaksiulotteisia, niin kvaterniot on neliulotteisia, oktoniot kahdeksanulotteisia ja sedeniot kuusitoistaulotteisia. Kun ulottuvuuksia lisätään, laskusääntöjä katoaa: esimerkiksi kvaternioissa kertolaskun vaihdannaisuus ei enää ole voimassa.

Eulerin identiteetti on $e^{i\pi }=-1$ tai $e^{i\pi }+1=0$. Eulerin identiteettiä on usein kutsuttu matematiikan kauneimmaksi kaavaksi: siinä on tärkeimmät luvut eli Neperin luku, pii, imaginaariyksikkö, yksi ja nolla sekä tärkeimpiä laskutoimituksia eli potenssiin korotus, kertolasku sekä yhteenlasku.

Yhtälönratkaisu

Kompleksiluvuilla voidaan mm. ratkaista yhtälöitä, joille ei ole reaalisia ratkaisuja:

$x^2+2x+3=0$

$x=\frac{-2\pm \sqrt{4-4\cdot 3\cdot 1}}{2}$

$x=\frac{-2\pm \sqrt{-8}}{2}$ Koska diskriminantti on negatiivinen, ei ole reaalisia ratkaisuja. Voidaan kuitenkin sijoittaa $i^2=-1$:

$x=\frac{-2\pm \sqrt{8\cdot -1}}{2}=\frac{-2\pm \sqrt{8i^2}}{2}=\frac{-2\pm \sqrt{8}i}{2}$

$x=\frac{-2\pm 2\sqrt{2}i}{2}=-1\pm \sqrt{2}i$ Ratkaisut ovat konjugaatteja.