Digitaalipiirit/Loogiset operaatiot

Malline:Digitaalipiirit Tällä sivulla käsitellään lyhytsanaisesti digitaalitekniikan peruskäsitteitä ennen syvempää perehtymistä digitaalipiireihin.

Boolen Algebra

Boolen algebran perusperiaatteeseen kuuluu kaksi arvoa, nämä arvot ovat "tosi" ja "epätosi". Matematiikan helpottamiseksi "tosi" -arvo merkitään luvulla 1 (yksi), ja "epätosi" -arvo merkitään luvulla 0 (nolla). Seuraavaksi näytetään boolen algebran peruslaskutoimitukset:

yhteenlasku

• 1 + 1 = 1.
• 1 + 0 = 1.
• 0 + 0 = 0.

Huom. Boolen algebrassa on ainoastaan kaksi arvoa (1 ja 0), joten yhteenlaskusta 1 + 1 tulee vastaukseksi 1.

kertolasku

• 1 * 1 = 1.
• 1 * 0 = 0.
• 0 * 0 = 0.

Komplementointi eli negaatio (EI-operaatio)

Tunnetaan myös nimellä Inversio. EI-operaatio kääntää sille annetun arvon, kuten alla olevasta esimerkistä huomaa, tulee ykkösestä nolla, ja toisinpäin nollasta tulee ykkönen. Matemaattisesti EI-operaatiota merkataan "!" (huutomerkki) symbolilla. Esimerkiksi:

• !1 = 0
• !0 = 1

Koska arvot voivat ainoastaan olla joko 1 tai 0, niin on loogista olettaa että jos luku EI ole yksi, niin sitten se on nolla ja jos luku EI ole nolla, niin sitten se on yksi.

Jos kyseessä on muuttuja joka on aina komplementoitu, käytämme seuraavanlaista merkintätapaa:

$\bar{X}=!X$

Jossa X:än yläpuolella oleva viiva ilmaisee muuttujan olevan aina oman arvonsa komplementti.

Looginen yhteenlasku (TAI-operaatio) ja Looginen Kertolasku (JA-operaatio)

Matemaattisesti JA portteja käsitellään kertolaskuina ja TAI portteja käsitellään yhteenlaskuina. Muista, Boolen algebrassa yhteenlaskun tulos ei ylitä arvoa 1, vaan 1 + 1 = 1.

JA ja TAI operaatioiden erojen ymmärtämiseksi on hyvä katsoa alla olevaa totuustaulua:

 JA/AND               TAI/OR 

 X   Y  TULOS         X   Y  TULOS
 0   0    0           0   0    0
 0   1    0           0   1    1
 1   0    0           1   0    1
 1   1    1           1   1    1

JA operaation tapauksessa kummankin kummankin operandin on oltava 1, jotta tulos olisi 1.

TAI operaation tapauksessa riittää, jos kumpi tahansa operandeista on yksi.

Boolen Algebra

Boolen järjestelmässä on kaksi tilaa: Tosi (engl. True) tai Epätosi (engl. False). Näitä tiloja voidaan esittää useilla eri tavoilla, kuten esimerkiksi: on tai off, yksi tai nolla, kyllä tai ei, jne. Näitä tiloja käsitellään kolmella perusoperaatiolla joita kutsutaan loogisiksi operaatioiksi: JA (AND), TAI (OR) ja EI (NOT).

Boolen algebran operaatiot ottavat arvoja vastaan kaksi tai enemmän, ja näillä syötetyillä arvoilla jokainen operaatio antaa odotettavanlaisen ulostulon. Nämä ulostulot on myös kirjoitettu ennalta määrättyihin totuustauluihin. Esimerkiksi JA -operaation ulostulo on aina epätosi, paitsi jos kaikki vastaanotetut arvot ovat tosia.

• Näissä taulukoissa:
  • T merkitsee arvoa Tosi ja
  • F merkitsee arvoa Epätosi.

• Lukuesimerkki:
  • JA-taulukon ensimmäinen rivi ilmaisee että jos A on epätosi ja B on epätosi, niin tulos on epätosi. Saman voi myös ilmaista sanomalla että kun A on 0 ja B on 0, niin tulos on 0, ts. 0 kertaa 0 = 0.
  • Taulukon pohjasta näkee, että 1 kertaa 1 on 1.
  • TAI-taulukkoa tarkastellessa käytetään plussausta kertomisen sijaan: 0 plus 0 on 0, mutta 0 plus 1 on 1. Samoin 1 plus 1 on 1.
  • Kolmas taulukko on EI-taulukko, eli negaatiotaulukko. Negaatiossa arvo kääntyy aina käänteiseksi, eli tosi vaihtuu epätodeksi, ja käänteisessä tapauksessa epätosi vaihtuu todeksi.

Totuustaulut

JA (AND) A B $A\wedge B$ F F F F T F T F F T T T

TAI (OR) A B $A\vee B$ F F F F T T T F T T T T

EI (NOT) A $\overline{A}$ F T T F

On keinoja yhdistää näitä ilmaisuja jotta saadaan aikaiseksi monimutkaisempia ja hyödyllisempiä digitaalipiirejä. Kun käytetään useampaa operaatioita samoille sisääntuloille on mahdollista luoda monimutkaisempia ulostuloja, esimerkiksi näin:

A ja B tai C

Totuustaulu näyttäisi seuraavanlaiselta:

A ja B tai C

A	B	C	X
0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	0
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	1

Tämä totuustaulu noudattaa seuraavanlaisia sääntöjä: Jos A ja B ovat tosia, tai C on tosi, silloin X on tosi

Matemaattiset Operaattorit

JA operaatiota esittää $\wedge$ symboli tai $.$ symboli, missä tapauksessa A JA B näyttäisi tältä $A\wedge B$ tai $A\cdot B$.

TAI operaatiota esittää $\vee$ symboli tai $+$ symboli, missä tapauksessa A TAI B näyttäisi tältä $A\vee B$ tai $A+B$.

EI operaatiota esittää $\mathrm{\neg }$ symboli tai $\stackrel{}{¯}$ symboli, missä tapauksessa EI A näyttäisi tältä $\mathrm{\neg }A$ tai $\overline{A}$.

Jos operaatioita yhdistelee saadaan aikaiseksi JA-EI (NAND) ja TAI-EI (NOR) operaatiot:

A TAI-EI B (ts. A NOR B) on $\mathrm{\neg }(A\vee B)$ tai $\overline{A+B}$

A JA-EI B (ts. A NAND B) on $\mathrm{\neg }(A\wedge B)$ tai $\overline{A\cdot B}$

Boolen Algebran Säännöt

Boolen Algebrassa, kuten tavallisessakin algebrassa, on tiettyjä sääntöjä. Nämä säännöt ovat Liitännäisyys eli assosiatiivisuus, Osittelulaki eli distributiivisuus, Kommutatiivisuus eli vaihdannaisuus ja De Morganin Laki. Assosiatiivisuus, distributiivisuus ja vaihdannaisuus koskevat ainoastaan JA ja TAI operaatioita.

Liitännäisyys eli assosiatiivisuus

Liitäntä- eli assosiatiivisuuslain mukaan muuttujat voidaan ryhmitellä vapaasti TAI-operaatiossa ja JA-operaatiossa.

$A\vee (B\vee C)=(A\vee B)\vee C$

$A\wedge (B\wedge C)=(A\wedge B)\wedge C$

Tai

$A+(B+C)=(A+B)+C$

$A\cdot (B\cdot C)=(A\cdot B)\cdot C$

Liitännäisyys

Osittelulaki eli distributiivisuus

Osittelu- eli distributiivisuuslain mukaan määritellän yhteisen yhteenlaskettavan ja yhteisen tekijän ottaminen.

$A\wedge (B\vee C)=(A\wedge B)\vee (A\wedge C)$

Tai

$A\cdot (B+C)=(A\cdot B)+(A\cdot C)$

Osittelulaki

Kommutatiivisuus eli vaihdannaisuus

Vaihdantalaki tarkoittaa sitä, että muuttujien järjestyksellä TAI-operaatiossa ja JA-operaatiossa ei ole merkitystä.

$A\wedge B=B\wedge A$

$A\vee B=B\vee A$

Tai

$A\cdot B=B\cdot A$

$A+B=B+A$

Vaihdannaisuus

De Morganin Laki

De Morganin kaavat ovat välttämättömiä komplementteja sisältävien lausekkeiden sievennyksessä. Kaavoissa muuttujien lukumäärää ei ole rajoitettu. Kaavojen mukaan lausekkeen päällä olevan komplementtiviiva voidaan jakaa muuttujien päälle, jos samalla muuttujien välinen operaatio vaihdetaan. De Morgan's Law is a consequence of the fact that the not or negation operator is not distributive.

$\mathrm{\neg }(P\wedge Q)=(\mathrm{\neg }P)\vee (\mathrm{\neg }Q)$

$\mathrm{\neg }(P\vee Q)=(\mathrm{\neg }P)\wedge (\mathrm{\neg }Q)$

Tai

$\overline{P\cdot Q}=\bar{P}+\bar{Q}$

$\overline{P+Q}=\bar{P}\cdot \bar{Q}$

De Morganin lait

Huomautukset

On tärkeää huomata että

$A\wedge B\vee C\ne A\wedge (B\vee C)$ tai $A\cdot B+C\ne A\cdot (B+C)$

Tämä voidaan nähdä joko JA operaationa jolla on korkeampi etusija, tai että assosiatiivisuus ei koske JA ja TAI operaatioiden välillä, tai että se on pätemätön käyttö distributiivisuudelle.

Säännöt

Näiden lakien seurauksena tulee joitakin sääntöjä, joita noudatetaan Boolen Algebrassa.

1. $A\wedge A=A$
2. $A\vee A=A$
3. $A\wedge 1=A$
4. $A\vee 1=1$
5. $A\wedge 0=0$
6. $A\vee 0=A$
7. $A\wedge \mathrm{\neg }A=0$
8. $A\vee \mathrm{\neg }A=1$
9. $\mathrm{\neg }(\mathrm{\neg }A)=A$
10. $A\vee \mathrm{\neg }A\wedge B=A+B$
11. $\mathrm{\neg }A\vee A\wedge B=\mathrm{\neg }A\vee B$

Tai vaihtoehtoista merkintätapaa käyttäen

1. $A\cdot A=A$
2. $A+A=A$
3. $A\cdot 1=A$
4. $A+1=1$
5. $A\cdot 0=0$
6. $A+0=A$
7. $A\cdot \overline{A}=0$
8. $A+\overline{A}=1$
9. $\overline{\overline{A}}=A$
10. $A+\overline{A}\cdot B=A+B$
11. $\overline{A}+A\cdot B=\overline{A}+B$

Tuplanegaatio:

$\overline{\stackrel{‾}{A}}=A$

Duaalisuusperiaate

Dualisuusperiaatteen mukaan: Jos boolen yhtälössä vaihdamme 'JA' ja 'TAI' operaattorien paikkaa, sekä vaihdamme '0' ja '1' arvojen paikkoja, boolen yhtälön tulos on edelleen oikein.

Esimerkiksi: Jos olemme tietoisia siitä että A·(B+C)=A·B+A·C tuolloin
Vasemman puolen duaali on A+B·C
Oikean puolen duaali on (A+B)·(A+C)

Duaalisuusperiaatteen mukaan voimme sanoa että A+B·C=(A+B)·(A+C)

Esimerkkejä

Yksinkertaista seuraavat ilmaisut.

1. $B\wedge A\wedge \mathrm{\neg }A$
2. $A\wedge \mathrm{\neg }B\vee A\wedge B$

Tai

1. $B\cdot A\cdot \overline{A}$
2. $A\cdot \overline{B}+A\cdot B$

Ykköstä varten käytämme sääntöä nro 7. Tästä saamme.

$B\wedge 0=0$ tai $B\cdot 0=0$

Mikä sattuu olemaan sääntö 5, joten vastaus on nolla. Kakkosessa voimme ottaa pois A:n. Tästä saamme

$A\wedge (\mathrm{\neg }B\vee B)$ tai $A\cdot (\overline{B}+B)$

Aaltosulkeet ovat sääntö nro 8. Joten vastaus on A.

Katso myös

Boolen logiikka

Mikä on Totuustaulu?

Kytkentäfunktio voidaan määritellä täydellisesti, paitsi kytkentäalgebran lausekkeella, myös taulukkona eli totuustauluna (truth table). Totuustaulussa esitetään piirin toteuttaman funktion arvo kaikilla mahdollisilla muuttujien arvojen kombinaatioilla. Koska muuttujalla on vain kaksi erilaista arvoa, niin erilaisten arvojen kombinaatioiden lukumäärä on 2ⁿ, jossa n on piirin muuttujien lukumäärä.

Loogisten perusoperaatioiden totuustaulut

Käytämme seuraavaa diagrammia totuustaulujen kirjoittamiseen:

A ---+--------+
     | Portti |-----Y
B ---+--------+

Missä A ja B ovat sisääntulot kyseiselle portille, ja Y on ulostulo kyseiseltä portilta. Yleisimmät loogiset portit ovat JA, TAI, EHDOTON-TAI, JA-EI ja invertoitu EHDOTON TAI.

AND (JA-operaatio)

IEC 60617-12 Standardin mukainen piirtomerkki AND-portille

Amerikkalainen piirtomerkki AND-portille

JA portilla on seuraavanlainen totuustaulu:

• Sekä A JA B pitävät olla TOSIA jotta ulostulo Y voisi olla tosi

A	B	Y
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

OR (TAI-operaatio)

IEC 60617-12 Standardin mukainen piirtomerkki OR-portille

Amerikkalainen piirtomerkki OR-portille

TAI portilla on seuraavanlainen totuustaulu:

• Joko A TAI B TAI MOLEMMAT pitää olla TOSI, jotta ulostulo Y olisi tosi

A	B	Y
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

XOR (EHDOTON TAI-operaatio)

IEC 60617-12 Standardin mukainen piirtomerkki XOR-portille

Amerikkalainen piirtomerkki XOR-portille

EHDOTON TAI portilla on seuraavanlainen totuustaulu:

• Jompikumpi A TAI B (mutta vain toinen) pitää olla tosi, jotta ulostulo Y olisi tosi

A	B	Y
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

NAND (invertoitu JA-operaatio)

IEC 60617-12 Standardin mukainen piirtomerkki NAND-portille

Amerikkalainen piirtomerkki NAND-portille

Invertoitu JA portilla on seuraavanlainen totuustaulu:

• Yksinkertaisesti "EI JA"

A	B	Y
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

NOR (invertoitu TAI-operaatio)

IEC 60617-12 Standardin mukainen piirtomerkki NOR-portille

Amerikkalainen piirtomerkki NOR-portille

Invertoitu TAI portilla on seuraavanlainen totuustaulu:

• Yksinkertaisesti "EI TAI"

A	B	Y
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

XNOR (invertoitu EHDOTON TAI-operaatio)

IEC 60617-12 Standardin mukainen piirtomerkki XNOR-portille

Amerikkalainen piirtomerkki XNOR-portille

Invertoitu EHDOTON TAI portilla on seuraavanlainen totuustaulu:

A	B	Y
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1