Lukion taulukot/Todennäköisyysjakaumia

Diskreetti jakauma

Satunnaismuuttujan $\underset{\_}{x}$ arvoina ovat luvut $x_1,x_2,\dots ,x_n$ (joita voi olla myös ääretön määrä). Näillä on ei-negatiiviset todennäköisyydet $p_1,p_2,\dots ,p_n$ siten, että

$\sum _{i=1}^n{p}_i=1$.

Satunnaismuuttujan $\underset{\_}{x}$ keskiarvo eli odotusarvo

$\mu =E\underset{\_}{x}=\sum _{i=1}^n{p}_i{x}_i$

ja keskihajonta

$\sigma =D\underset{\_}{x}=\sqrt{\sum _{i=1}^n{p}_i(x_i-\mu {)}^2}$; Malline:Padσ² on varianssi

Binomitodennäköisyys

Jos tietty satunnaiskoe toistetaan n kertaa ja tapauksen A todennäköisyys kullakin kerralla on p, niin todennäköisyys sille, että tapaus A sattuu täsmälleen k kertaa

$P(k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k{q}^{n-k}$, missä $q=1-p$.

Binomitodennäköisyyden odotusarvo ja keskihajonta

$\mu =np$ ja $\sigma =\sqrt{npq}$

Jatkuva jakauma

Jatkuvan satunnaismuuttujan $\underset{\_}{x}$ tiheysfunktio f on ei-negatiivinen funktio, jolle

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=1$.

Tapauksen $a\le \underset{\_}{x}\le b$ todennäköisyys

$P(a\le \underset{\_}{x}\le b)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$

Kertymäfunktion $F(x)=P(\underset{\_}{x}\le x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(u)\mathrm{d}u$ avulla lausuttuna $P(a\le \underset{\_}{x}\le b)=F(b)-F(a)$.

Satunnaismuuttujan $\underset{\_}{x}$ keskiarvo eli $\begin{array}{cc}𝐨𝐝𝐨𝐭𝐮𝐬𝐚𝐫𝐯𝐨\mu & =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)x\mathrm{d}x\\ \end{array}$ ja

$\begin{array}{cc}𝐯𝐚𝐫𝐢𝐚𝐧𝐬𝐬𝐢{\sigma }^2& =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)(x-\mu {)}^2\mathrm{d}x\end{array}$

Normaalijakauma

Normitetun normaalijakauman keskiarvo on 0 ja keskihajonta 1. Sen kertymäfunktio $\mathrm{\Phi }$ on tiheysfunktion φ integraalifunktio.

Olkoon normaalisti jakautuneen satunnaismuuttujan $\underset{\_}{x}$ keskiarvo μ ja keskihajonta σ. Tapauksen $a\le x\le b$ todennäköisyys lasketaan kertymäfunktion avulla seuraavasti:

$P(a\le \underset{\_}{x}\le b)=P(\frac{a-\mu }{\sigma }\le \underset{\_}{z}\le \frac{b-\mu }{\sigma })=\mathrm{\Phi }\left(\frac{b-\mu }{\sigma }\right)-\mathrm{\Phi }\left(\frac{a-\mu }{\sigma }\right)$