Differentiaaliyhtälöt

Suunnitelma

Johdanto Malline:75%

Tämä wikikirja käsittelee differentiaaliyhtälöitä, jotka ovat eräs matemaattisen analyysin osa-alue. Kirjassa esitellään perusteista lähtien ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöiden teoria kattavasti. Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöitä ei käsitellä ollenkaan, sillä em. yhtälötyyppien ratkaisujen hallitseminen on varsin riittävää useimpiin differentiaalilaskennan sovelluksissa vastaan tuleviin ongelmiin. Kirjan sisällön on tarkoitus mukailla Jyväskylän yliopistossa syksyllä 2014 luennoidun kurssin MATA114 Differentiaaliyhtälöt luentomuistiinpanoja − kirjoittajan muokkaamina ja parantelemina luonnollisesti (ks. suunnitelma).

Kirjan lukijalle suositellaan esitietoina hyvää tuntemusta yliopistotason analyysistä sekä erityisesti differentiaali- ja integraalilaskennasta.

Koska kyseessä on wikikirja, sitä ovat luonnollisesti tervetulleita muokkaamaan ja täydentämään kaikki aiheeseen perehtyneet aloittajan lisäksi. Erityisesti muut muokkaajat ja lukijat arvostanevat mahdollisten kielioppi-, kirjoitus- tai asiavirheiden korjaamista.

Tässä kirjassa käytetään toistuvasti joitain vakiintuneita merkintöjä ja symboleita, joiden merkitys on listattu oheiseen taulukkoon:

Symboli tai merkintä	Merkitys	Huomautus, selitys tai muu merkintätapa
$$\mathbb{N}$$	Luonnollisten lukujen joukko	$$\{1,2,3,\dots \}$$
$$\mathbb{Z}$$	Kokonaislukujen joukko	$$\{0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\dots \}$$
$$\mathbb{Q}$$	Rationaalilukujen joukko	$$\{x:x=\frac{m}{n};m,n\in \mathbb{Z},n\ne 0\}$$
$$ℝ$$	Reaalilukujen joukko
$$ℂ$$	Kompleksilukujen joukko	$$\{a+b\mathrm{i}:a,b\in ℝ;{\mathrm{i}}^2=-1\}$$
$$\mathrm{\forall }$$	Kaikkikvanttori
$$\mathrm{\exists }$$	Olemassaolokvanttori
$$[a,b]$$	Suljettu reaalilukuväli $a$:sta $b$:hen	$$\{x\in ℝ:a\le x\le b\}$$
$$[a,b[$$$$]a,b]$$	Puoliavoin reaalilukuväli $a$:sta $b$:hen	$$\{x\in ℝ:a\le x<b\}$$$$\{x\in ℝ:a<x\le b\}$$
$$]a,b[$$	Avoin reaalilukuväli $a$:sta $b$:hen	$$\{x\in ℝ:a<x<b\}$$
$$\mathrm{e}$$	Luonnollisen logaritmin kantaluku, eli Neperin luku	$$\approx \text{2,718282}$$
$$\mathrm{i}$$	Imaginaariyksikkö	$$\sqrt{-1}$$
$$a\equiv b$$	$a$ on identtisesti yhtä suuri kuin $b$	Esimerkiksi merkintä $f(t)\equiv 0$ tarkoittaa, että funktion $f$ arvo on aina nolla riippumatta muuttujan $t$ arvosta.
$$x^{\prime }(t)$$$$x^{″}(t)$$	Funktion $x$ derivaatta pisteessä $t$ Funktion $x$ toinen derivaatta pisteessä $t$	$$\frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t},\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}x(t)$$$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}x(t)}{\mathrm{d}{t}^2},\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{t}^2}x(t)$$
$$\det \left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$$	Matriisin $\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$ determinantti	$$\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|$$
$${𝒞}^1(ℝ)$$ $${𝒞}^n(ℝ)$$ $${𝒞}^{\mathrm{\infty }}(ℝ)$$	Jatkuvasti derivoituvien (yhden reaalimuuttujan) funktioiden joukko $n$ kertaa jatkuvasti derivoituvien funktioiden joukko, $n\in \mathbb{N}$ Äärettömän monta kertaa jatkuvasti derivoituvien funktioiden joukko	Esimerkiksi merkintä $f\in {𝒞}^2(ℝ)$ tarkoittaa, että (yhden reaalimuuttujan) funktio $f$ on kahdesti jatkuvasti derivoituva, eli että $f$:n toinen derivaatta on jatkuva.
$$\frac{\partial f}{\partial x_1}(x_1,x_2,\dots ,x_n)$$	Funktion $f$ osittaisderivaatta muuttujan $x_1$ suhteen pisteessä $(x_1,x_2,\dots ,x_n)$	$$\frac{\partial f(x_1,x_2,\dots ,x_n)}{\partial x_1}$$