Fysiikan lukion oppimäärä/Pyöriminen ja gravitaatio

Pyörimisliike

Kiertokulma

Kiertokulman suuruus φ määritellään samalla tavalla kuin radiaanitkin: $\phi =\frac{s}{r}$, jossa s on ympyrän kaaren pituus ja r sen säteen. Yleinen käytäntö on, että kiertokulma vastapäivään on positiivinen ja myötäpäivään negatiivinen. Kiertokulmalla ei ole varsinaisesti yksikköä, kuten yksikkötarkastelu osoittaa:

$[\phi ]=\frac{[s]}{[r]}=\frac{1m}{1m}\mathrm{=}\mathrm{1}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$

Vaikka luku onkin selvästi yksikötön, SI-järjestelmässä määritellään radiaani (tunnus rad) kuvaamaan absoluuttista kulman yksikköä. Fysiikassa yksiköillä on merkitystä, joten radiaani merkitään tavallisesti näkyviin. Näin on selkeämpää, että käsitellään kulmaa. Laskuissa sen voi kuitenkin huoletta sieventää pois, ja matematiikassa radiaania ei yleensä merkitä lainkaan.

Kierrostaajuus

Tasaista pyörimisliikettä tarkasteltaessa halutaan usein tietää, missä ajassa kappale pyörii tietyn matkan. Kierrostaajuus n kertoo kuinka monta kierrosta kappale pyörii aikayksikköä kohti:

$n=\frac{N}{\mathrm{\Delta }t}$, jossa N on kierrosten lukumäärä ja $\mathrm{\Delta }t$ kierroksiin kulunut aika.

Jos kierroksia on yksi ja tiedetään yhteen kierrokseen kulunut aika eli kierrosaika T, kierrostaajuus on $n=\frac{1}{T}$
Yksikkötarkastelu:

$[n]=\frac{[1]}{[T]}=\frac{1}{1s}\mathrm{=}\frac{1}{s}$

Yksikkö on siis sama kuin hertsin, mutta sen käyttö on epätavallista pyörimisen yhteydessä. Erityisesti laitteissa ja koneissa käytetään yksikköä $1\frac{r}{s}$, jossa r tarkoittaa kierrosta (revolution). Esimerkiksi kiintolevyjen kierrostaajuudesta käytetään tavallisesti yksikköä $1\frac{r}{min}\mathrm{=}\mathrm{1}\mathrm{r}\mathrm{p}\mathrm{m}$ (revolutions per minute).

Kulmanopeus

Keskikulmanopeus ω_k ilmaisee kuinka nopeasti kiertokulma muuttuu.

${\omega }_k=\frac{\mathrm{\Delta }\phi }{\mathrm{\Delta }t}$

Jos kulmanopeus on vakio tietyllä aikavälillä, liikettä kutsutaan tasaiseksi pyörimisliikkeeksi. Tasaisessa pyörimisliikkeessä keskikulmanopeus on samalla hetkellinen kulmanopeus jokaisella ajanhetkellä. Yksikkötarkastelu:

$[\omega ]=\frac{[\mathrm{\Delta }\phi ]}{[\mathrm{\Delta }t]}=\frac{1rad}{1s}\mathrm{=}\mathrm{1}\frac{rad}{s}$

Kulmanopeus on rinnastettavissa etenevän liikkeen nopeuteen v. Hetkellinen kulmanopeus ajanhetkellä t₀ voidaan määrittää piirtämällä (t,φ)-koordinaatistoon tangentti kohtaan t₀. Hetkellinen kulmanopeus on tällöin tangentin fysikaalinen kulmakerroin.

Kierrostaajuus ei usein sovellu tehtävien ratkaisuun niin hyvin kuin kulmanopeus, mutta toisinaan se voi olla jopa käytännöllisempi. Johdetaan lauseke näiden välille. Radiaaneina yksi kierros on 2π, joten kierrosten lukumäärä voidaan ilmoittaa kiertokulman avulla $N=\frac{\mathrm{\Delta }\phi }{2\pi }$. Tällöin kierrostaajuus on

$\begin{array}{ccc}n& =\frac{N}{\mathrm{\Delta }t}& |N=\frac{\mathrm{\Delta }\phi }{2\pi }\\ & =\frac{\frac{\mathrm{\Delta }\phi }{2\pi }}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{\mathrm{\Delta }\phi }{\mathrm{\Delta }t\cdot 2\pi }& |\frac{\mathrm{\Delta }\phi }{\mathrm{\Delta }t}={\omega }_k\\ & =\frac{{\omega }_k}{2\pi }\end{array}$

Vaikka yhtälössä käytetään keskimääräistä kulmanopeutta, yhtälöä voi käyttää myös hetkellisen kulmanopeuden määrittämiseen, jos kierrostaajuus samalla hetkellä tiedetään. Lauseke saadaan siis yksinkertaiseen muotoon $\omega =2\pi n$.

Tehtäviä

1. Johda lauseke kiertokulmalle ajanhetkenä t, kun kappale pyörii tasaisesti nopeudella ω ja alussa

a) kiertokulma on nolla

b) kiertokulma on φ₀.

Kulmakiihtyvyys

Keskikulmakiihtyvyys

${\alpha }_k=\frac{\mathrm{\Delta }\omega }{\mathrm{\Delta }t}$

Yksikkötarkastelu:

$[{\alpha }_k]=\frac{[\mathrm{\Delta }\omega ]}{[\mathrm{\Delta }t]}=\frac{1\frac{rad}{s}}{1s}\mathrm{=}\mathrm{1}\frac{rad}{s^2}$

Tasaisesti kiihtyvä pyörimisliike

Tasaisesti kiihtyvässä pyörimisliikkeessä kulmakiihtyvyys α on vakio.

$\omega ={\omega }_0+\alpha t$

$\phi ={\phi }_0+{\omega }_{0}t+\frac{1}{2}\alpha t^2$

Statiikka

Statiikka eli tasapaino-oppi on mekaniikan osa-alue, joka tutkii kappaleiden tasapainotiloja. Staattisessa tasapainossa kappale pysyy levossa.

Voiman momentti

$M=Fr$

$[M]=[F][r]=\mathrm{1}\mathrm{N}\mathrm{m}\mathrm{=}\frac{1kg{m}^2}{s^2}$

Jäykän kappaleen tasapaino

Tasapainon voimaehto

Dynamiikan peruslain (Newton II) mukaan $\mathrm{\Sigma }\overline{F}=m\overline{a}$. Jos kappaleella on kiihtyvyyttä, siihen vaikuttavan kokonaisvoiman suuruus ei voi olla nolla, koska ainoat muuttuvat suureet ovat kiihtyvyys ja voima. Siis kappale ei ole tasapainossa, jos siihen vaikuttava kokonaisvoima ei ole nolla. Kun kappaleeseen vaikuttavien voimien summa on nolla, se on staattisessa tasapainossa.

$\mathrm{\Sigma }\overline{F}={\overline{F}}_1+{\overline{F}}_2+{\overline{F}}_3+...+{\overline{F}}_n=\overline{0}$

Jatkavuuden laista (Newton I) kuitenkin seuraa, että kappale voi olla tasaisessa liikkeessä, jos siihen vaikuttavien voimien summa on nolla. Yleensä statiikan laskuissa oletetaan, että kappale on levossa, jolloin mitään ongelmaa ei ole.

Mekaaniset koneet

Tehtäviä:

1. Tasapaksu lankku, jonka massa on 16,5 kg ja pituus 4,5 m, nojaa sileään seinään. Kaltevuuskulma θ = 29°. Lankun ja maan välinen lepokitkakerroin on 0,80, kun taas lankun ja seinän välinen kitka on mitättömän pieni. Poika, jonka massa on 21 kg, lähtee hitaasti kiipeämään lankkua pitkin ylöspäin. Kuinka pitkälle hän pääsee, ennen kuin lankku romahtaa alas? (YO 2003K t6)

2. Isä ja poika kantavat rakennustyömaalla 6,4 m:n pituista tasapaksua hirttä, jonka massa on 150 kg. Poika kykenee kannattelemaan 560 N:n kuormaa.

a) Kuinka suuri voima vähintään kohdistuu isän käsiin, kun he pitävät hirttä käsiensä varassa vaakasuorassa asennossa?

b) Mikä on tällöin isän ja pojan otteen paikka, kun toinen heistä kannattelee hirttä sen päästä?

(YO 2001 t6)