Geometriset juuret

Yleisesti tunnettujen juurten, kuten neliö- ja kuutiojuuren lisäksi monista muistakin säännöllisistä geometrisista kappaleista ja monikulmioista voidaan laskea sivun pituus lähtien kappaleen tilavuudesta tai monikulmion pinta-alasta. Samalla tavalla kuin kaava

$\sqrt[square]{A}=\sqrt[2]{A}=s,$

jossa A on pinta-ala ja s sivun pituus, muuttaa neliön pinta-alan sivun pituudeksi, esimerkiksi tasasivuisen kolmion pinta-ala voidaan muuttaa sivun pituudeksi kaavalla

$\sqrt[triangle]{A}=\frac{2\sqrt[2]{A}}{\sqrt[4]{3}}=s,$

Kaava on johdettu tasasivuisen kolmion pinta-alan kaavasta seuraavasti:

$A=\frac{s^2\sqrt[2]{3}}{4},$

kerrotaan puolittain 4:llä

$4A=s^2\sqrt[2]{3},$

jaetaan puolittain 3:n toisella juurella

$\frac{4A}{\sqrt[2]{3}}=s^2,$

otetaan puolittain toinen juuri

$\sqrt[2]{\frac{4A}{\sqrt[2]{3}}}=s,$

ja sievennetään: toinen juuri 4:stä on 2 ja toinen juuri 3:n toisesta juuresta on neljäs juuri 3:sta

$\frac{2\sqrt[2]{A}}{\sqrt[4]{3}}=s,$

Vastaavalla tavalla on johdettu seuraavat kaavat:

Kolmiojuuri

$\sqrt[triangle]{A}=\frac{2\sqrt[2]{A}}{\sqrt[4]{3}}=s,$

Epäsäännöllisen kolmion sivun pituus

Jotta mielivaltaisen kolmion pinta-alasta voitaisiin ratkaista sivujen pituuksia, on tunnettava sivujen väliset kulmat.

Yhden sivun pituus on:

$s=\sqrt[2]{\frac{2A(1+\frac{|\tan \alpha |}{|\tan \beta |})}{|\tan \alpha |}}$

jossa α ja β ovat s:n viereiset kulmat. Jos α tai β on 90°, käytettävä kaava on

$s=\sqrt[2]{\frac{2A}{\tan \alpha }}$

jossa α on se s:n viereinen kulma, joka ei ole 90°.

Neliöjuuri

$\sqrt[square]{A}=\sqrt[2]{A}=s,$

Viisikulmiojuuri

$\sqrt[pentagon]{A}=\frac{\sqrt[2]{4A}}{\sqrt[4]{25+10\sqrt[2]{5}}}=s,$

Kuusikulmiojuuri

$\sqrt[hexagon]{A}=\sqrt[triangle]{\frac{A}{6}}=\sqrt{\frac{2A}{3\sqrt{3}}}=s,$

Tetraedrijuuri

$\sqrt[tetrahedron]{V}=\sqrt[3]{\frac{12V}{\sqrt[2]{2}}}=s,$

Kuutiojuuri

$\sqrt[cube]{V}=\sqrt[3]{V}=s,$

Ominaisuuksia

Neliöjuuren ja kuutiojuuren ominaisuuksia on määritelty niille erikseen tehdyillä sivuilla.

Kolmiojuuren ominaisuuksia: Olkoot a ja b mielivaltaisia ei-negatiivisia reaalilukuja ja m ja n ei-negatiivisia kokonaislukuja, joista m on n:n toinen potenssi.

$\sqrt[triangle]{a}\cdot \sqrt[triangle]{b}=\frac{2\sqrt[triangle]{ab}}{\sqrt[4]{3}},$

$\frac{\sqrt[triangle]{a}}{\sqrt[triangle]{b}}=\sqrt[2]{\frac{a}{b}},(b\ne 0)$

$\sqrt[triangle]{ma}=n\sqrt[triangle]{a},$

jos ja vain jos

$\sqrt[2]{m}=n$