Lukion taulukot/Raja-arvoja

Määritelmä

Raja-arvon määritelmä on seuraava. Olkoon $f(x)$ määritelty reaaliluvuilla pisteen $x_0$ ympäristössä. Tällöin $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=a$ jos ja vain jos kaikille $ϵ>0$ on olemassa $\delta >0$, jolle $|f(x_0+h)-a|<ϵ$ kaikille $|h|<\delta$. Toisin sanottuna, funktion arvo saadaan mielivaltaisen lähelle raja-arvoa kaikilla pisteillä jotka ovat tarpeeksi lähellä pistettä $x_0$.

Raja-arvoja

1. $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\underset{h\to 0}{lim}f(x_0+h)$
2. $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}=1$
3. $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{n}=1$
4. $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{n})}^n=e\approx 2,718282$ (Neperin luku)
5. $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots +\frac{1}{n}-\ln n)\approx 0,577216$ (Eulerin vakio)