Lukion taulukot/Vektorilaskenta

Vektorilaskenta

Olkoon $\overline{𝐚}=a_x\overline{𝐢}+a_y\overline{𝐣}+a_z\overline{𝐤},\overline{𝐛}=b_x\overline{𝐢}+b_y\overline{𝐣}+b_z\overline{𝐤}\text{ ja }\overline{𝐜}=c_x\overline{𝐢}+c_y\overline{𝐣}+c_z\overline{𝐤}$

1.	$|\overline{𝐚}|=|\overline{𝐚}\cdot \overline{𝐚}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}$	$\overline{𝐚}$:n pituus
2.	${\overline{𝐚}}^{\circ }=\frac{\overline{𝐚}}{|\overline{𝐚}|}$	$\overline{𝐚}$:n suuntainen yksikkövektori
3.	$\begin{array}{cc}\overline{𝐚}=\overline{𝐛}& \iff \overline{𝐚}\upuparrows \overline{𝐛}\wedge |\overline{𝐚}|=|\overline{𝐛}|\\ & \iff (a_x=b_x\wedge a_y=b_y\wedge a_z=b_z)\end{array}$	$\overline{𝐚}$ ja $\overline{𝐛}$ identtiset
4.	$\overline{𝐛}=r\overline{𝐚}(\overline{𝐚},\overline{𝐛}\ne \overline{0},r\ne 0)$	yhdensuuntaisuusehto
5.	$\overline{𝐚}+\overline{𝐛}=(a_x+b_x)\overline{𝐢}+(a_y+b_y)\overline{𝐣}+(a_z+b_z)\overline{𝐤}$	summavektori
6.	$r\overline{𝐚}=r{a}_x\overline{𝐢}+r{a}_y\overline{𝐣}+r{a}_z\overline{𝐤}$	vektorin $\overline{𝐚}$ kertominen luvulla $r$
7.	$\overline{𝐚}\cdot \overline{𝐛}=|\overline{𝐚}||\overline{𝐛}|\cos (\overline{𝐚},\overline{𝐛})=a_x{b}_x+a_y{b}_y+a_z{b}_z$	piste- eli skalaaritulo
	$\overline{𝐚}\cdot \overline{𝐛}=0\iff \overline{𝐚}\perp \overline{𝐛},(\overline{𝐚},\overline{𝐛}\ne \overline{0})$	kohtisuoruusehto
	$\cos (\overline{𝐚},\overline{𝐛})=\frac{\overline{𝐚}\cdot \overline{𝐛}}{|\overline{𝐚}||\overline{𝐛}|}(0^{\circ }\le (\overline{𝐚},\overline{𝐛})\le 180^{\circ })$	$\overline{𝐚}$:n ja $\overline{𝐛}$:n välisen kulman kosini
	$a_b=\frac{\overline{𝐚}\cdot \overline{𝐛}}{|\overline{𝐛}|}$	$\overline{𝐚}$:n skalaariprojektio $\overline{𝐛}$:llä
	${\overline{𝐚}}_b=\frac{\overline{𝐚}\cdot \overline{𝐛}}{\overline{𝐛}\cdot \overline{𝐛}}\overline{𝐛}$	$\overline{𝐚}$:n vektoriprojektio $\overline{𝐛}$:llä
8.	$\begin{array}{cc}\overline{𝐚}\times \overline{𝐛}& =|\overline{𝐚}||\overline{𝐛}|\sin (\overline{𝐚},\overline{𝐛})\overline{𝐞}=\left|\begin{array}{ccc}\overline{𝐢}& \overline{𝐣}& \overline{𝐤}\\ a_x& a_y& a_z\\ b_x& b_y& b_z\end{array}\right|\\ & =\left|\begin{array}{cc}{a}_y& a_z\\ b_y& b_z\end{array}\right|\overline{𝐢}+\left|\begin{array}{cc}{a}_z& a_x\\ b_z& b_x\end{array}\right|\overline{𝐣}+\left|\begin{array}{cc}{a}_x& a_y\\ b_x& b_y\end{array}\right|\overline{𝐤}\end{array}$	risti- eli vektoritulo
	$\overline{𝐚}\times \overline{𝐛}=\overline{0}\iff \overline{𝐚}\parallel \overline{𝐛}(\overline{𝐚},\overline{𝐛}\ne \overline{0})$	yhdensuuntaisuusehto
	$A=|\overline{𝐚}\times \overline{𝐛}|$	$A$ on $\overline{𝐚}$:n ja $\overline{𝐛}$:n määräämän suunnikkaan ala
9.	$\begin{array}{cc}\overline{𝐚}\cdot \overline{𝐛}\times \overline{𝐜}& =\overline{𝐚}\times \overline{𝐛}\cdot \overline{𝐜}=\overline{𝐚𝐛𝐜}\\ & =\left|\begin{array}{ccc}{a}_x& a_y& a_z\\ b_x& b_y& b_z\\ c_x& c_y& c_z\end{array}\right|\end{array}$	skalaarikolmitulo
	$V=|\overline{𝐚𝐛𝐜}|$	$V$ on $\overline{𝐚}$:n, $\overline{𝐛}$:n ja $\overline{𝐜}$:n määräämän särmiön tilavuus
	$\overline{𝐚𝐛𝐜}=0(\overline{𝐚},\overline{𝐛},\overline{𝐜}\ne \overline{0})$	vektorit samassa tasossa
10.	$\begin{array}{c}\overline{𝐚}\times (\overline{𝐛}\times \overline{𝐜})=(\overline{𝐚}\cdot \overline{𝐜})\overline{𝐛}-(\overline{𝐚}\cdot \overline{𝐛})\overline{𝐜}\\ (\overline{𝐚}\times \overline{𝐛})\times \overline{𝐜}=(\overline{𝐚}\cdot \overline{𝐜})\overline{𝐛}-(\overline{𝐛}\cdot \overline{𝐜})\overline{𝐚}\end{array}$	vektorikolmitulo

Yleisillä vektoreilla Kroneckerin delta ${\delta }_{ij}=\{\begin{array}{cc}1,& i=j\\ 0,& i\ne j\end{array}$

ja Levi-Civita-symboli ${ϵ}_{ijk}=\{\begin{array}{cc}1,& (i,j,k)=(1,2,3)\text{ tai }(2,3,1)\text{ tai }(3,1,2)\\ -1,& (i,j,k)=(3,2,1)\text{ tai }(2,1,3)\text{ tai }(1,3,2)\\ 0,& i=j\text{ tai }i=k\text{ tai }j=k\end{array}$

ovat hyödyllisiä.

Nyt voimme merkitä $\overline{𝐱}=\sum _i{x}_i{\overline{𝐞}}_i$ ja $\overline{𝐲}=\sum _i{y}_i{\overline{𝐞}}_i$, missä vektoreiden ulottuvuus voi olla mielivaltainen. Tällöin saamme seuraavat määritelmät aiemmille kaavoille:

3.	$\overline{𝐱}=\overline{𝐲}\iff x_i=y_i$, kaikille $i$	$\overline{𝐱}$ ja $\overline{𝐲}$ identtiset
5.	$\overline{𝐱}+\overline{𝐲}=\sum _i(x_i+y_i){\overline{𝐞}}_i$	summavektori
6.	$r\overline{𝐱}=\sum _{i}r{x}_i{\overline{𝐞}}_i$	vektorin $\overline{𝐱}$ kertominen luvulla $r$
7.	$\overline{𝐱}\cdot \overline{𝐲}=\sum _i\sum _j{x}_i{y}_j{\delta }_{ij}=\sum _i{x}_i{y}_i$	piste- eli skalaaritulo
8.	$\overline{𝐱}\times \overline{𝐲}=\sum _{i=1}^3\sum _{j=1}^3{x}_i{y}_j{ϵ}_{ijk}{\overline{𝐞}}_k$	risti- eli vektoritulo. Määritelty ainoastaan kolmiulotteisilla vektoreilla.