Matematiikka/Funktioiden leikkauspisteet

Kahden tai useamman käyrän leikkauspisteet saadaan selville yksinkertaisesti tekemällä niistä yhtälöpari ja ratkaisemalla se. Esimerkiksi suorien $y = x + 4$ ja $y = - x + 6$ leikkauspisteet saadaan selville seuraavasti:
${\begin{matrix} y = x + 4 \\ y = - x + 6 \end{matrix}$
$x + 4 = - x + 6$
$2 x = 2$
$x = 1$
$y = 1 + 4 = 5$
Siis leikkauspiste $(1, 5)$ .

Tarkistus sijoittamalla:

$1 + 4 = 5$
$- 1 + 6 = 5$

Tarkistuksen voi tehdä myös graafisesti.

Usein yhtälöparin rakentaminen voidaan ohittaa ja on nopeampi esimerkiksi merkitä funktiot yhtä suuriksi: $y = y$ , joten $x + 4 = - x + 6$ . Toisinaan myös suoraan sijoittaminen on nopeampaa: funktioiden $f (x) = 2$ ja $f (x) = x^{2} + 1$ leikkauspisteet saadaan sijoittamalla: $x^{2} + 1 = 2$ , joten $x^{2} = 1$ , joten leikkauskohdat $x = 1, x = - 1$ ja arvot saadaan funktiosta $f (x) = 2$ . Siis leikkauspisteet $(1, 2)$ ja $(- 1, 2)$ .

Tehtäviä

Määritä annettujen käyrien leikkauspisteet.

$f (x) = x + 4, g (x) = 2 x$
$f (x) = - 3 x, g (x) = x$
$f (x) = x^{2}, g (x) = - 1$
$f (x) = 2 x + 3, g (x) = 4 x - 1$
$x + y = 0, y = 2 x$
$f (x) = x^{2} + 3 x - 2, g (x) = 2 x + 4$
$f (x) = 2 x^{2} - 2 x + 5, g (x) = - x^{2} + x$
$x^{2} + y^{2} = 1, y = x$
$f (x) = s i n x, g (x) = 0$
$f (x) = l g x, g (x) = 0$

Tehtävien ratkaisut

Tehtävä 1.
Merkitään $f (x) = g (x)$ , jolloin $x + 4 = 2 x$ . Tällöin $x = 4$ ja $g (4) = 8$ , joten leikkauspiste $(4, 8)$ .
Tehtävä 2.
Merkitään $f (x) = g (x)$ , jolloin $- 3 x = x$ tosi, kun </math>x=0</math>. Koska $g (0) = 0$ , niin leikkauspiste $(0, 0)$ .
Tehtävä 3.
Koska $x^{2} \geq 0 \forall x \in ℝ$ , niin $f (x) \neq g (x)$ kaikilla x. Siis leikkauspisteitä ei ole.
Tehtävä 4.
$2 x + 3 = 4 x - 1$ , joten $2 x = 4$ , joten $x = 2$ . Sijoittamalla saadaan $f (2) = 7$ . Tarkistus: $g (2) = 7$ . Leikkauspiste on siis $(2, 7)$ .
Tehtävä 5.
$x + y = 0$ , joten $y = - x$ . Vertailemalla saadaan $2 x = - x$ , joten leikkauspiste $(0, 0)$ (ratkaise x:n suhteen ja sijoita).
Tehtävä 6.
$x^{2} + 3 x - 2 = 2 x + 4$ , joten $x^{2} + x - 6 = 0$ . Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan, että $x = 2$ tai $x = - 3$ , jolloin $g (2) = 8$ ja $g (- 3) = - 2$ . Siis leikkauspisteet $(2, 8)$ ja $(- 3, - 2)$ . Tarkistus sijoittamalla f:n yhtälöön.
Tehtävä 7.
$2 x^{2} - 2 x + 5 = - x^{2} + x$ , joten $3 x^{2} - 3 x + 5 = 0$ . Toisen asteen yhtälön diskriminantti $D = b^{2} - 4 a c = 9 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = - 51 < 0$ , joten ei ratkaisuja. Käyrät eivät leikkaa.
Tehtävä 8.
$x^{2} + y^{2} = 1, y = x$ Sijoitetaan $y = x$ : $x^{2} + x^{2} = 1$ , joten $x^{2} = \frac{1}{2}$ , joten $x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ . Leikkauspisteet $(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ , $(- \frac{1}{\sqrt{2}}, - \frac{1}{\sqrt{2}}) .$
Tehtävä 9.
$s i n x = 0$ , kun $x = n \cdot π$ , missä $n \in ℤ$ . Siis leikkauspisteitä ovat kaikki $(n π, 0)$ , missä $n \in ℤ$ . Vaihtoehto: siniyhtälön ratkaisukaava.
Tehtävä 10.
Merkitään $f (x) = g (x)$ joten $l g x = 0$ . Koska $\log_{a} x = y \Leftrightarrow a^{y} = x$ niin $1 0^{0} = x$ eli $x = 1$ , joten leikkauspiste $(1, 0)$ .
Tapa 2:
Logaritmifunktion ominaisuus: funktio kulkee aina pisteen $(1, 0)$ kautta. Koska $l g x = 0$ niin leikkauspiste on $(1, 0)$ .

Matematiikka/Funktioiden leikkauspisteet

Tehtäviä

Tehtävien ratkaisut

Navigointivalikko

Haku