Matematiikka/Geometristen muotojen mitat

Tämä kappale käsittelee erilaisten taso- ja avaruusgeometristen muotojen mittoja.

Neliö

Neliön pinta-ala voidaan laskea kaavalla $A=a^2$, jossa a on neliön sivun pituus. Piiri lasketaan kaavalla $p=4a$. Neliössä on neljä yhtä pitkää sivua ja neljä suoraa kulmaa. Neliön lävistäjä voidaan saada Pythagoraan lauseella, josta saadaan $\sqrt{2}a$.

Suorakulmio

Suorakulmion pinta-ala voidaan laskea kertomalla kanta ja korkeus keskenään: $A=ab$. Piiri voidaan laskea kaavalla $A=2a+2b$, ja lävistäjä saadaan Pythagoraan lauseella: $\sqrt{a^2+b^2}$.

Suunnikkaan pinta-ala voidaan laskea samalla kaavalla.

Ympyrä

Ympyrän pinta-ala lasketaan kaavalla $A=\pi r^2$ ja piiri kaavalla $p=2\pi r=\pi d$.

Ympyrän sektorin piiri ja ala saadaan kertomalla kyseinen kaava sektorin keskuskulman suhteella täyskulman suuruuteen: $A_s=\frac{\alpha }{360^{\circ }}\cdot \pi r^2$. Ympyrän sektorin keskuskulma on ympyrän keskipisteessä.

Segmentin pinta-ala voidaan puolestaan laskea vähentämällä sektorin alasta muodostuvan kolmion ala, jos keskuskulma on alle oikokulman; muuten sektorin alaan tulee lisätä muodostuva kolmio.

Kolmio

Kolmion pinta-ala voidaan laskea kertomalla kanta ja korkeus ja puolittamalla se: $A=\frac{ab}{2}=\frac{1}{2}\cdot ab$. Kolmion ala voidaan laskea myös kaavalla $A=\frac{1}{2}\cdot ac\cdot sin\beta$, jossa kulma $\beta$ jää sivujen a ja c väliin; kulmaa $\beta$ vastaa sivu b.

Lisäksi suorakulmaiselle kolmiolle pätee Pythagoraan lause $a^2+b^2=c^2$ (a ja b kateetteja, c hypotenuusa) Kaikille kolmioille pätee myös sinilause $\frac{a}{sin\alpha }=\frac{b}{sin\beta }=\frac{c}{sin\gamma }$ ja kosinilause eli laajennettu Pythagoraan lause $a^2=b^2+c^2-2bc\cdot cos\alpha$. Myös trigonometriset funktiot sini, kosini ja tangentti, pätevät kolmioihin.

Suorakulmainen särmiö

Kuution, suorakulmaisen särmiön erikoistapauksen, tilavuuden voi laskea kaavalla $V=a^3$. Suorakulmaisen särmiön tilavuuden yleensä voi laskea kertomalla kaikki sivut keskenään.

Lieriö ja kartio

Lieriön tilavuuden voi laskea kertomalla pohjan alan korkeudella: $V=A_p\cdot h$. Kartiossa kaava pitää jakaa kolmella: $V=\frac{1}{3}\cdot A_p\cdot h=\frac{A_p\cdot h}{3}$.

Suoran ympyrälieriön vaipan pohjasivu on kyseisen lieriön pohjaympyrän kehä ja pystysivu on lieriön korkeus. Siis suoran ympyrälieriön vaipan ala on $A_v=2\pi rh=\pi dh$.

Suoran ympyräkartion vaipan alan voi laskea kaavalla $A_v=\pi rs$, missä s on sivujana. Sivujanan voi laskea Pythagoraan lauseella.

Pallo

Pallolle pätee kaavat $A=4\pi r^2$ ja $V=\frac{4\pi r^3}{3}=\frac{4}{3}\pi r^3$.