Matematiikka/Integraalifunktio

Integraali tarkoittaa derivaatan käänteistoimintoa: kun $F^{\prime }(x)=f(x)$, niin $\int f(x)dx=F(x)$. Koska vakio derivoituu nollaksi (vakio ei vaikuta funktion tangentin kulmakertoimeen), on integraalifunktioita olemassa ääretön määrä, joten integroitaessa on lisättävä integroimisvakio: $\int f(x)dx=F(x)+C$.

Yksinkertaisia integroimiskaavoja

1. $\int 0dx=C$
2. $\int kdx=kx+C$
3. $\int f(x)dx+\int g(x)dx=\int (f(x)+g(x))dx$
4. $k\int f(x)dx=\int kf(x)dx$
5. $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ kun $n\ne -1$
6. $\int x^{-1}dx=\int \frac{1}{x}dx=\text{ln}\left|x\right|+C$

Esimerkki: $\int x^{3}dx=\frac{1}{4}{x}^4+C$.

Integroimiskaavat voidaan osoittaa todeksi derivoimalla. Esimerkki: $D(\frac{x^{n+1}}{n+1}+C)=\frac{1}{n+1}\cdot D(x^{n+1})=\frac{1}{n+1}\cdot (n+1)\cdot x^n=x^n$.

Trigonometristen funktioiden ja eksponenttifunktioiden integrointi

7. $\int \text{sin}(x)dx=-\text{cos}(x)+C$
8. $\int \text{cos}(x)dx=\text{sin}(x)+C$
9. $\int e^{x}dx=e^x+C$
10. $\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\text{ln }a}+C$ kun $a>0,a\ne 1$

Yhdistetyn funktion integrointi

11. $\int f^{\prime }(x)(f(x){)}^{n}dx=\frac{(f(x){)}^{n+1}}{n+1}+C$ Sisäfunktion $f(x)$ derivaatta on siis järjestettävä integraalin alle. Tämä johtuu yhdistetyn funktion derivoimissäännöstä.
12. $\int f^{\prime }(x)\text{sin}(f(x))dx=-\text{cos}f(x)+C$
13. $\int \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}=\text{ln}|f(x)|+C$
14. $\int f^{\prime }(x)e^{f(x)}dx=e^{f(x)}+C$

Esimerkki: ${\int }_{}^{}{(2x+1)}^{3}dx$

Funktion voisi integroida laskemalla kolmannen potenssin. Helpompi on kuitenkin järjestää sisäfunktion $2x+1$ derivaatta $2$ integraalin sisälle. Koska luvun ja sen käänteisluvun tulo on yksi, niin $\frac{1}{n}\cdot n=1$ eli $\frac{1}{2}\cdot 2=1$. Koska integraalifunktiossa saa vakion tuoda eteen, $\frac{1}{2}{\int }_{}^{}2{(2x+1)}^{3}dx$.

Integroidaan: $\frac{1}{2}{\int }_{}^{}2{(2x+1)}^{3}dx=\frac{1}{2}\frac{{(2x+1)}^4}{4}+C=\frac{{(2x+1)}^4}{8}+C$.

Osittaisintegroinnin kaava

17. $\int f^{\prime }(x)g(x)\text{d}x=f(x)g(x)-\int g^{\prime }(x)f(x)\text{d}x$

Kaava saadaan tulon derivoimissäännöstä: $D(f(x)g(x))=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)$ joten $\int (f^{\prime }(x)g(x))dx+\int (f(x)g^{\prime }(x))dx=f(x)g(x)$, joten $\int (f^{\prime }(x)g(x))=f(x)g(x)-\int (f(x)g^{\prime }(x))dx$.

Esimerkki: funktion $x{e}^x$ integrointi osittaisintegroinnin avulla:

Valitaan, että $f(x)=e^x$ ja $g(x)=x$. Tällöin $f^{\prime }(x)=e^x$ ja $g^{\prime }(x)=1$.

Osittaisintegroimalla saadaan ${\int }_{}^{}x{e}^{x}dx=x{e}^x-{\int }_{}^{}{e}^{x}dx=x{e}^x-e^x+C=(x-1)e^x+C$

Integrointi osamurtokehitelmän avulla

Esimerkki: funktion $f(x)=\frac{1}{x^2-1}$ integrointi:

Jaetaan funktion nimittäjä tekijöihin. $\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{(x+1)(x-1)}$.

Merkitään $\frac{1}{(x+1)(x-1)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}$. Ratkaistaan A ja B.

$\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}=\frac{A\cdot (x-1)}{x^2-1}+\frac{B\cdot (x+1)}{x^2-1}=\frac{Ax-A+Bx+B}{x^2-1}=\frac{(A+B)\cdot x+(-A+B)}{x^2-1}$

Tällöin $A+B=0$ ja $-A+B=1$, joten $A=-\frac{1}{2}$ ja $B=\frac{1}{2}$. Siis $\frac{1}{(x+1)(x-1)}=-\frac{1}{2x+2}+\frac{1}{2x-2}$. Lausekkeen voi nyt integroida kaavalla 13.

Määrätty integraali

Määrätyn integraalin avulla voidaan selvittää funktion kuvaajan ja x-akselin väliin jäävän alueen pinta-ala. Määrätyssä integraalissa on tärkeä tietää, onko alue x-akselin ylä- vai alapuolella, ja mitkä ovat funktion nollakohdat. Määrätty integraali a:sta b:hen merkitään ${\int }_a^{b}f(x)dx$. Integraalin avulla voidaan laskea funktion $f(x)$ ja x-akselin väliin jäävä pinta-ala välillä $[a,b]$.

Määrätyn integraalin arvo lasketaan seuraavasti: ${\int }_a^{b}f(x)dx={/}_a^{b}F(x)=F(b)-F(a)$. Määrätyn integraalin laskemisessa ei tule käyttää integroimisvakiota.

Määrätyn integraalin avulla voidaan laskea myös kahden käyrän välinen pinta-ala tarkastelemalla niiden leikkauspisteitä sekä sitä, kumpi kuvaaja on ylempänä. Käyrän pyörähdyskappaleen x-akselin ympäri tilavuus välillä $[a,b]$ voidaan laskea kaavalla $V=\pi {\int }_a^b(f(x){)}^{2}dx$. Yleisesti kappaleen tilavuus välillä $[a,b]$ voidaan integroida kaavalla $V(x)={\int }_a^{b}A(x)dx$ missä funktio $A(x)$ kuvaa kappaleen poikkileikkauksen pinta-alaa.

Esimerkki: Määritä käyrien $x^2$ ja $x+2$ väliin jäävän äärellisen alueen pinta-ala.

Ratkaisu: Selvitetään käyrien leikkauskohdat.

$x^2=x+2$ joten $x^2-x-2=0$ joten $x=-1\vee x=2$.

Testikohta $x=0$: tällöin $x+2>x^2$. Koska välillä ei ole leikkauskohtia, $x+2>x^2$ koko välillä $[-1,2]$. Lisäksi molemmat käyrät ovat x-akselin yläpuolella, sillä $x^2$ on aina epänegatiivinen, ja $x+2>x^2$ tarkasteluvälillä.

Siis alueen pinta-ala on:

$A={\int }_{-1}^2(x+2)dx-{\int }_{-1}^2{x}^{2}dx={/}_{-1}^2(\frac{1}{2}{x}^2+2x)-{/}_{-1}^2\left(\frac{1}{3}{x}^3\right)$ Molemmat käyrät voidaan merkitä myös saman integraalimerkin alle.

$=\frac{1}{2}\cdot 2^2+2\cdot 2-(\frac{1}{2}\cdot {(-1)}^2+2\cdot (-1))-(\frac{1}{3}\cdot 2^3-(\frac{1}{3}\cdot {(-1)}^3))$

$=2+4-(\frac{1}{2}-2)-(\frac{8}{3}-(-\frac{1}{3}))=6+\frac{3}{2}-3=\frac{9}{2}$

Integroimiskaavoja määrätylle integraalille

18. ${\int }_a^{a}f(x)dx=0$
19. ${\int }_a^{b}f(x)dx+{\int }_b^{c}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx$
20. ${\int }_a^{b}f(x)dx=-{\int }_b^{a}f(x)dx$