Matematiikka/Trigonometria

Tämä luku kertoo trigonometriasta, joka tunnetaan myös nimellä kolmiomittaus. Kolmiomittaus käsittelee nimensä mukaisesti suorakulmaisten kolmioiden mittausta, eli kolmion sivujen pituuksien ja kulmien mittaamista.

Suorakulmainen kolmio ja Pythagoraan lause

Suorakulmainen kolmio on kolmio, jossa on suora 90 asteen kulma. Koska kolmion kulmien summa on 180 astetta, niin muiden kulmien summa on 90 astetta.

Suorakulmaisen kolmion sivuista käytetään matematiikassa tiettyjä nimityksiä. Suoran kulman viereisistä sivuista käytetään nimeä kateetti, ja jäljelle jäävästä pitkästä sivusta käytetään nimeä hypotenuusa. Hypotenuusa on aina suorakulmaisen kolmion pisin sivu.

Pythagoraan lauseen mukaan $a^2+b^2=c^2$, kun a ja b on kateetit ja c hypotenuusa, eli kateettien neliöiden summa on yhtä suuri kuin hypotenuusan neliön summa. Jos kateetit ovat 7 ja 11, voidaan hypotenuusa laskea Pythagoraan lauseella seuraavasti:

$a^2+b^2=c^2$

$7^2+11^2=c^2$

$49+121=c^2$

$170=c^2$

$c=\sqrt{170}$

$c\approx 13$

Jos hypotenuusa on 16 ja kateetti a on 7, voidaan kateetti b laskea seuraavasti:

$a^2+b^2=c^2$

$7^2+b^2=13^2$

$b^2=13^2-7^2$

$b^2=169-49$

$b^2=120$

$b=\sqrt{120}$

$b\approx 11$

Kulmien suuruus ja sivujen suhteet

Kateetit ovat aina tietyssä suhteessa hypotenuusaan, mutta suorakulmaisen kolmion sivut ovat myös tietyissä suhteissa toisiinsa ja kolmion muiden kulmien suuruuteen. Jos esimerkiksi kolmion kaksi muuta kulmaa ovat 45°, ovat kateetit tasan yhtä pitkiä, minkä näkee melko helposti, tai jos kolmion yksi kulma on 60° ovat tämän kulman viereiset sivut sellaiset että toinen on kaksi kertaa niin pitkä kuin toinen, mitä ei ehkä näe yhtä helposti.

Tiedot tällaisista suhteista auttavat laskemaan suorakulmaisen kolmion sivujen pituuksia. Jos esimerkiksi tiedetään että suorakulmaisen kolmion yksi kulma on 60° ja tiedetään myös tämän kulman viereisen kateetin pituus, voidaan tästä laskea kolmion hypotenuusan pituus kertomalla kateetti kahdella.

Sini, kosini ja tangentti

Suorakulmaisen kolmion sivujen suhteita toisiinsa ja kolmion kulmiin kutsutaan erityisillä nimillä. Nämä nimet ovat sini, kosini ja tangentti. Kun suorakulmaisessa kolmiossa käsiteltävän kulman vastainen kateetti on a, viereinen b ja hypotenuusa on c,

$sin\alpha =\frac{a}{c}$

$cos\alpha =\frac{b}{c}$

$tan\alpha =\frac{a}{b}$.

Sini on siis tiedetystä kulmasta katsottuna vastaisen kateetin ja hypotenuustan suhde, kosini viereisen kateetin ja hypotenuusan suhde ja tangentti kateettien välinen suhde.

Laskutoimituksia trigonometrisillä funktioilla

Kuvan kolmion sivun a pituus on 6 cm ja kulma $\alpha$ on 35 astetta. Lasketaan hypotenuusa. Koska olemme maininneet kulmaan $\alpha$ verrattuna vastaisen kateetin ja hypotenuusan, kulma voidaan laskea sinillä. Sijoitetaan sinin kaavaan kyseessä olevat luvut ja ratkaistaan hypotenuusa.

$sin35=\frac{6}{c}$

$sin35\cdot c=6$

$c=\frac{6}{sin35}$

$c\approx 10,5$

Hypotenuusan pituus on noin 10,5 cm.

Kulman laskeminen

Kun tiedetään vähintään kaksi sivua, kaikki kolmion kulmat voidaan laskea. Suora kulma on 90 astetta ja kolmion kulmien summa on 180 astetta. Kun tiedetään kaksi sivua, voidaan käyttää trigonometristen funktioiden käänteisfunktioita. Käyttäen yhä ylläolevaa kolmiota,

$si{n}^{-1}\frac{a}{c}=\alpha$

$co{s}^{-1}\frac{b}{c}=\alpha$

$ta{n}^{-1}\frac{a}{b}=\alpha$

Jos tiedämme, että kulmasta $\alpha$ katsottuna vastainen kateetti on 5 ja viereinen 7, voimme laskea kulman $\alpha$ suuruuden. Koska tiedämme molempien kateettien pituudet, käytämme tangenttia. Sijoitetaan tiedetyt arvot laskukaavaan.

$ta{n}^{-1}\frac{a}{b}=\alpha$

$ta{n}^{-1}\frac{5}{7}=\alpha$

$ta{n}^{-1}0,7143=\alpha$

$36\approx \alpha$

$\alpha \approx 36$

Kulma $\alpha$ on noin 36 astetta.

Kolmioiden yhtenevyys ja yhdenmuotoisuus

Kolmioiden yhdenmuotoisuus

Yhdenmuotoiset kolmiot eivät välttämättä ole samankokoiset, mutta niiden kulmat ovat samat ja niiden kateetit ovat samassa suhteessa. Mikäli kolmion kaksi kulmaa ovat samat, on myös kolmas kulma sama, ja tällöin kolmiot ovat yhdenmuotoiset (kk-sääntö). Tämä johtuu siitä, että kolmion kulmien summa on aina $180^{\circ }$.

Yhdenmuotoisuutta merkitään merkillä ~ ja yhtenevyyttä merkillä $\cong$.

Kolmioiden yhtenevyys

Yhtenevät kolmiot ovat samankokoiset ja -muotoiset, mutta ne voivat olla toisin päin. Kolmioiden yhtenevyys voidaan todistaa yhtenevyyslauseella, jotka ovat:

Lause sss

Jos kolmion kaikki sivut ovat yhtä pitkät kuin vastinsivut toisessa kolmiossa, ovat kolmiot yhtenevät.

Lause sks

Jos kolmion kaksi sivua ja niiden välinen kulma vastaavat toisen kolmion vastinosia, ovat kolmiot yhtenevät.

Lause ksk

Jos kolmion kaksi kulmaa ja niiden välinen sivu vastaavat toisen kolmion vastinosia, ovat kolmiot yhtenevät.

Lause kks

Jos kolmion kaksi kulmaa ja toisen vastainen sivu vastaavat toisen kolmion vastinosia, ovat kolmiot yhtenevät.

Lause ssk + lisäehto

Jos kolmion kaksi sivua ja toisen vastainen kulma vastaavat toisen kolmion vastinosia ja kulmat ovat samanlaatuiset (terävä, suora tai tylppä), ovat kolmiot yhtenevät.

Sinilause ja kosinilause

Latinalaista kirjainta (kolmion sivu) vastaa aina vastaava kreikkalainen kirjain (kolmion kulma). Sekä sini- että kosinilause toimivat terävä- ja tylppäkulmaisilla kolmioilla, ei vain suorakulmaisilla.

Sinilause

Sinilause on seuraava:

$\frac{a}{sin\alpha }=\frac{b}{sin\beta }=\frac{c}{sin\gamma }$

Sinilauseesta usein jätetään yksi suhde pois. Sinilauseesta voidaan ratkaista yksi neljästä kertomalla ristiin tai kertomalla koko yhtälö puolittain jollakin.

Kosinilause

Kosinilause eli laajennettu Pythagoraan lause on seuraava:

$c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot cos\gamma$

Kosinilauseen voi kirjoittaa myös seuraavasti:

$a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot cos\alpha$

$b^2=a^2+c^2-2\cdot a\cdot c\cdot cos\beta$

Kosinilauseesta voi ratkaista sivun sijoittamalla paikalleen jotkin luvut, mutta kulman ratkaisemiseen tarvitaan joitakin muita yhtälönratkaisukeinoja.

Tehtäviä

Pythagoraan lause

1. Kolmion kateetit ovat 5,0 ja 7,0. Mikä on kolmannen sivun pituus?
2. Kolmion kateetit ovat 6,1 ja 7,7. Mikä on kolmannen sivun pituus?
3. Kolmion kateetti on 4,5 ja hypotenuusa 8,8. Mikä on toisen kateetin pituus?
4. Kolmion kateetti on 0,6 ja hypotenuusa 41,0. Mikä on toisen kateetin pituus?
5. Kolmion kaksi sivua ovat 2,3 ja 5,1. Mikä on kolmannen sivun pituus?
6. Kolmion sivut ovat 5,5, 6,1 ja 8,2. Onko kolmio suorakulmainen?
7. Kolmion sivut ovat 3,0, 4,0 ja 5,0. Onko kolmio suorakulmainen?
8. Laatikon pituus on 4,6 cm ja leveys 6,6 cm sekä syvyys mitätön. Mahtuuko 8,2 cmmittainen ohut kappale laatikkoon?
9. Laatikon pituus on 4,6 cm, leveys 6,6 cm ja syvyys 3,1 cm. Mahtuuko 8,2 cm ohut kappale laatikkoon?

Sini, kosini ja tangentti

Tehtävät perustuvat viereisen kuvan suorakulmaiseen kolmioon.

Laske, mitä on kulman $45^{\circ }$ sini, kosini ja tangentti.

1. Laske, mitä on kulman $90^{\circ }$ sini, kosini ja tangentti.
2. Kolmion hypotenuusa c on 4,0 ja kulma $\alpha =60^{\circ }$. Laske kateetti a.
3. Kolmion kateetti a on 4,0 ja kulma $\alpha =60^{\circ }$. Laske hypotenuusa c.
4. Kolmion kateetti b on 4,0 ja kulma $\alpha =60^{\circ }$. Laske hypotenuusa c.
5. Kolmion hypotenuusa c on 4,0 ja kulma $\beta =40^{\circ }$. Laske kateetti a.
6. Kolmion kateetti a on 3,5 ja kulma $\beta =40^{\circ }$. Laske kateetti b.
7. Kolmion kateetti a on 4,1 ja kateetti b on 4,4. Laske kulma $\alpha$.
8. Kolmion hypotenuusa c on 11,3 ja kateetti a on 1,9. Laske kulma $\beta$.

Kolmioiden yhdenmuotoisuus ja yhtenevyys

$\text{ABC}\sim \text{DEF}$. $a=4,d=6,b=3.$ Laske sivun e pituus. Sivu e on sivun b vastinsivu.

1. Ovatko kaksi suorakulmaista kolmiota ABC ja AED yhdenmuotoiset, entä yhtenevät? A ei ole suora kulma. E ja C ovat samankohtaisia kulmia. Mallikuvio

Sini- ja kosinilause

Tehtävät perustuvat viereiseen teräväkulmaiseen kolmioon.

$a=6,\alpha =50^{\circ },b=4.$ Laske kulma $\beta .$

1. $\alpha =46^{\circ },\beta =30^{\circ },a=5.$ Laske sivu b.
2. $\gamma =30^{\circ },c=6,b=4.$ Laske kulma $\alpha .$
3. $b=6,c=4,\alpha =40^{\circ }$. Laske sivu a.
4. Kolmion sivut ovat a = 4, b = 5 ja c = 6. Laske sivua a vastaava kulma.

Vastaukset

Vastauksissa voi olla virheitä.

1. 8,6
2. 9,8
3. 7,6
4. 41,0
5. 5,6 tai 4,6
6. ei ole
7. on
8. ei mahdu
9. mahtuu
10. $\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},1$
11. 1, 0, -
12. 3,5
13. 4,6
14. 8,0
15. 3,1
16. 4,2
17. $42^{\circ }$
18. $80^{\circ }$
19. $\frac{9}{2}$
20. Kolmiot ovat yhdenmuotoiset, mutta ei yhtenevät.
21. $31^{\circ }$
22. 3,5
23. $131^{\circ }$
24. 3,9
25. $41^{\circ }$