Matematiikka/Vektorit

Esimerkki vektorista, jonka päätepiste on (2, 3).

Vektori on sellainen geometrinen malli, jolla on vain suunta ja pituus. Vektoria merkitään kirjaimella, jonka päällä on viiva: $\overline{i}$. Vektoria merkitään koordinaatistossa nuolella.

Vektori voidaan jakaa komponentteihin vektorein $\overline{i}$ ja $\overline{j}$ siten, että ensimmäinen vektori on yhden yksikön mittainen ja suunta on x-akselin suuntainen positiiviseen suuntaan, ja jälkimmäinen on sama, mutta y-akselin suuntaisena. Esimerkiksi kuvassa näkyvä vektori, joka päättyy koordinaatteihin (2, 3), voidaan jakaa komponentteihin $\overline{a}=2\overline{i}+3\overline{j}$ olettaen, että vektori lähtee origosta, vaikkei sitä ole kuvaan merkittykään. Jos vektori ei lähde origosta, voidaan vektori jakaa komponentteihin vähentämällä päätepisteen koordinaateista alkupisteen koordinaatit eli $\overline{a}=(x_1-x_0)\overline{i}+(y_1-y_0)\overline{j}$, missä alkupisteen koordinaatit ovat $(x_0,y_0)$ ja päätepisteen koordinaatit ovat $(x_1,y_1)$.

Fysiikassa käytetään myös vektorisuureita, kun jollakin suureella on suuruuden lisäksi suunta (esimerkiksi kiihtyvyys tai voimat).

Nollavektori $\overline{0}$ on vektori, jonka suunta on epämääräinen ja pituus $|\overline{0}|=0$. Pisteen paikkavektori vektori, joka menee origosta pisteeseen: pisteen $P=(2,3)$ paikkavektori on kuvassa, jos vektori lähtee origosta. Vektori on siis $\overline{OP}$.

Vektoreihin liittyviä laskutoimituksia

Vektorien peruslaskutoimituksia

Esimerkki vektorin vähennyslaskusta. Voidaan myös laskea yhteenlaskuna siten, että tehdään ensin vektorin b vastavektori.

Vektorit voidaan laskea yhteen komponenttien perusteella: siis $\overline{a}+\overline{b}=(i_a+i_b)\overline{i}+(j_a+j_b)\overline{j}$, kun $\overline{a}=i_a\overline{i}+j_a\overline{j}$ ja $\overline{b}=i_b\overline{i}+j_b\overline{j}$. Vastavektori saadaan puolestaan seuraavasti: $-\overline{a}=-i_a\overline{i}-j_a\overline{j}$ käyttäen edellisiä vektoreita. Vähennyslasku puolestaan saadaan laskemalla vektoriin $\overline{a}$ yhteen vektorin $\overline{b}$ vastavektori. Graafisesti vektorin yhteenlasku toimii siten, että vektorin $\overline{a}$ päätepisteestä laitetaan alkamaan vektori $\overline{b}$, ja $\overline{a}+\overline{b}$ on vektorin $\overline{a}$ lähtöpisteestä vektorin $\overline{b}$ päätepisteeseen. Pätee myös se, että jos vektorit $\overline{a}$ ja $\overline{b}$ laitetaan alkamaan samasta pisteestä, niin $\overline{a}-\overline{b}$ on vektori b:n päätepisteestä a:n päätepisteeseen. Graafisesti voi toki laskea vähennyslaskun myös tavalla $\overline{a}+(-\overline{b})$.

Vektorin voi kertoa reaaliluvulla: $k\cdot \overline{a}=k{x}_a\overline{i}+k{y}_a\overline{j}$. Saatu vektori on samansuuntainen, jos $k>0$ ja vastakkaissuuntainen, jos $k<0$. Jos k on nolla, tuloksena on nollavektori, joka on suunnaltaan määrittelemätön. Samoin toimii jakolasku. Vektorien välistä jakolaskua ei ole määritelty.

Vektorin pituus

Vektorin pituus voidaan laskea soveltamalla Pythagoraan lausetta: $|\overline{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}=\sqrt{\overline{a}\cdot \overline{a}}$. Siis esimerkiksi vektorin $\overline{a}=3\overline{i}+4\overline{j}$ pituus on $\overline{a}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$. Lisäksi $\overline{a}\cdot \overline{a}=\sqrt{3\cdot 3+4\cdot 4}=\sqrt{3^2+4^2}=5=|\overline{a}|$ (pistetulosta enemmän seuraavassa).

Vektorien pistetulo

Vektorien pistetulo voidaan laskea seuraavasti: $\overline{a}\cdot \overline{b}=a_i\cdot b_i+a_j\cdot b_j$, jossa siis kerrotaan i- ja j-kertoimet ja ynnätään tulokset yhteen. Pistetulon voi laskea myös seuraavasti (kaavaa voi hyödyntää myös vektorien välisen kulman selvittämiseen): $\overline{a}\cdot \overline{b}=\cos (\overline{a},\overline{b})\cdot \left|\overline{a}\right|\left|\overline{b}\right|$. Esimerkiksi vektorien $\overline{a}=2\overline{i}+3\overline{j}$ ja $\overline{b}=3\overline{i}$ pistetulo on $\overline{a}\cdot \overline{b}=2\cdot 3+3\cdot 0=6$. Vektorien välinen kulma puolestaan on seuraava:

$\alpha ={\text{cos}}^{-1}(\frac{\overline{a}\cdot \overline{b}}{|\overline{a}||\overline{b}|})={\text{cos}}^{-1}(\frac{2\cdot 3+3\cdot 0}{\sqrt{2^2+3^2}\cdot \sqrt{3^2+0^2}})={\text{cos}}^{-1}(\frac{6}{\sqrt{13}\cdot 3})={\text{cos}}^{-1}(\frac{2}{\sqrt{13}})\approx 56,3^{\circ }$.

Kun pistetulo on nolla, vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.

Yksikkövektori

Yksikkövektorin pituus on yksi ja saadaan jakamalla vektori tämän pituudella: ${\overline{a}}^0=\frac{\overline{a}}{|\overline{a}|}$.

Tehtäviä

1. Laske vektorien $\overline{a}=2\overline{i}+4\overline{j}$ ja $\overline{b}=3\overline{i}+\overline{j}$ summa ja erotus.
2. Laske vektorien $\overline{a}=4\overline{i}+\overline{j}$ ja $\overline{b}=5\overline{i}+3\overline{j}$ summa ja erotus.
3. Laske vektorien $\overline{a}=2\overline{i}+6\overline{j}$ ja $\overline{b}=3\overline{i}+1\overline{j}$ summa ja erotus.
4. Mikä vektori pitää vähentää vektorista $\overline{a}=4\overline{i}-2\overline{j}$, jossa saadaan vektori $\overline{c}=\overline{i}$?
5. Kappaleeseen vaikuttaa voimat, joita voidaan esittää vektoreilla $\overline{F_1}=20\overline{i}+30\overline{j}$ sekä $\overline{F_2}=-10\overline{i}-20\overline{j}$. Laske kappaleeseen vaikuttava kokonaisvoimavektori $\overline{F_3}$.
6. Mikä on pisteen $P=(3,4)$ paikkavektori, entä pisteen $Q=(-1,-6)$ paikkavektori, entä näiden summavektori? Mikä on vektori $\overline{a}=\overline{PQ}$?
7. Laske vektorien $\overline{a}=3\overline{i}+4\overline{j}$ ja $\overline{b}=2\overline{i}+2\overline{j}$ summavektorin pituus sekä vektorien pituuksien summa.
8. Mikä on vektorin ja sen vastavektorin summavektori?
9. Suora piirretään vektorin $\overline{a}=2\overline{i}+3\overline{j}$ mukaisesti. Mikä on suoran yhtälö?
10. Laske vektorien $\overline{a}=2\overline{i}+3\overline{j}$ ja $\overline{b}=\overline{i}-5\overline{j}$ pistetulo.
11. Laske vektorien $\overline{a}=5\overline{i}+\overline{j}$ ja $\overline{b}=6\overline{i}+2\overline{j}$ pistetulo $\overline{a}\cdot \overline{b}$ ja $\overline{a}\cdot (\overline{a}+\overline{b})$.
12. Osoita, että vektorin pituus on sama kuin vektorin pistetulon itsensä kanssa neliöjuuri.
13. Minkä vektorin kanssa vektori $\overline{a}=3\overline{i}+\overline{j}$ on kohtisuorassa: $\overline{b_1}=3\overline{i}-\overline{j}$, $\overline{b_2}=2\overline{i}-3\overline{j}$ vai $\overline{b_3}=2\overline{i}-6\overline{j}$?
14. Minkä vektorin kanssa vektori $\overline{a}=2\overline{i}+3\overline{j}$ on kohtisuorassa, kun toisen vektorin i-kerroin on 4? Entä, kun i-kerroin on x?
15. Millä vektorin t arvoilla vektorit $\overline{a}=3t\overline{i}+t\overline{j}$ ja $\overline{b}=4\overline{i}+(t-1)\overline{j}$ ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan?
16. Määritä vektori $\overline{c}$, kun $\overline{c}\cdot (\overline{i}+\overline{j})=2$ ja $\overline{c}\cdot (\overline{i}-\overline{j})=3$ (yo k2019).
17. Vektoreille pätee $|\overline{a}||\overline{b}|=6$ ja $\overline{a}\cdot \overline{b}=5$. Laske vektorien a ja b välinen kulma.
18. Laske vektorien $\overline{a}=3\overline{i}-\overline{j}$ ja $\overline{b}=5\overline{i}+8\overline{j}$ välinen kulma.
19. Laske vektorien $\overline{a}=2\overline{i}+5\overline{j}$ ja $\overline{b}=16\overline{i}$ välinen kulma.
20. Kolmion kulmat ovat $A=(0,3)$, $B=(1,5)$ ja $C=(9,8)$. Laske kolmion kulmien suuruudet.
21. Pisteestä $P=(2,1)$ edetään 41 yksikköä vektorin $\overline{a}=4\overline{i}+5\overline{j}$ suuntaan ja sen jälkeen 75 yksikköä vektorin $\overline{b}=7\overline{i}+24\overline{j}$. Mihin pisteeseen päädytään?

Tehtävien vastaukset

1. $5\overline{i}+5\overline{j}$, $-\overline{i}+3\overline{j}$
2. $9\overline{i}+4\overline{j}$, $-\overline{i}-2\overline{j}$
3. $5\overline{i}+7\overline{j}$, $-\overline{i}+5\overline{j}$
4. $3\overline{i}+2\overline{j}$
5. $\overline{F_3}=10\overline{i}+10\overline{j}$
6. $\overline{OP}=3\overline{i}+4\overline{j},\overline{OQ}=-\overline{i}-6\overline{j},\overline{OP}+\overline{OQ}=2\overline{i}-2\overline{j},\overline{a}=(-1-3)\overline{i}+(-6-4)\overline{j}=-4\overline{i}-10\overline{j}$
7. $\overline{a}+\overline{b}=5\overline{i}+6\overline{j}|\overline{a}+\overline{b}|=\sqrt{5^2+6^2}=\sqrt{61}$ ja $|\overline{a}|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5|\overline{b}|=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}|\overline{a}|+|\overline{b}|=5+2\sqrt{2}$
8. Olkoon $\overline{a}=x\overline{i}+y\overline{j}$. Tällöin $-\overline{a}=-x\overline{i}-y\overline{j}$ ja $\overline{a}+(-\overline{a})=(x-x)\overline{i}+(y-y)\overline{j}=\overline{0}$ eli nollavektori.
9. Vektori menee 2 yksikköä x-akselia eteenpäin ja 3 yksikköä y-akselia eteenpäin. Siis suoran yhtälö on $y=\frac{3}{2}x$.
10. -13
11. 32, 58
12. Olkoon $\overline{a}=x\overline{i}+y\overline{j}$. Tällöin $|\overline{a}|=\sqrt{x^2+y^2}$ ja $\overline{a}\cdot \overline{a}=x^2+y^2$, joten $\sqrt{\overline{a}\cdot \overline{a}}=\sqrt{x^2+y^2}$.
13. $\overline{b_3}$
14. $2\cdot 4+3\cdot y=0$ joten i-kerroin on $\frac{8}{3}$. Kun i-kerroin on x, niin $2x+3y=0$ eli $y=\frac{2x}{3}$ eli i-kerroin on $\frac{2x}{3}$.
15. $3t\cdot 4+t\cdot (t-1)=0$ joten $12t+t^2-t=0$ joten $t^2+11t=0$ joten $t(t+11)$ joten $t=-11$. $t=0$ ei kelpaa, koska muuten a olisi nollavektori.
16. Olkoon $\overline{c}=a\overline{i}+b\overline{j}$. Tällöin $a\cdot 1+b\cdot 1=2$ eli $a+b=2$ ja $a\cdot 1+b\cdot (-1)=3$ eli $a-b=3$. Yhtälöparista yhteenlaskukeinolla saadaan $2a=5$ joten $a=\frac{5}{2}$ ja siten saadaan $b=-\frac{1}{2}$.
17. $\alpha ={\text{cos}}^{-1}(\frac{5}{6})\approx 36^{\circ }$
18. $\alpha ={\text{cos}}^{-1}(\frac{7}{\sqrt{890}})\approx 76^{\circ }$
19. Kulma on sama kuin vektorien $\overline{a}$ ja $\overline{i}$ välinen kulma. $\alpha ={\text{cos}}^{-1}(\frac{2}{\sqrt{29}})\approx 68^{\circ }$
20. Riittää laskea kahden kulman suuruus ja soveltaa tietoa, että kolmien kulmien summa on 180 astetta. Saadaan tulokset 137, 36 ja 9 astetta.
21. $41\cdot \frac{\sqrt{41}(4\overline{i}+5\overline{j})}{41}=4\overline{i}+5\overline{j}$ ja $75\cdot \frac{7\overline{i}+24\overline{j}}{25}=21\overline{i}+72\overline{j}$ ja piste on $(2,1)+(4,5)+(21,72)=(27,78)$.