Matematiikka/Yhtälöpari

Yhtälöpari tarkoittaa kahta yhtälöä, joille etsitään yhteisiä samanlaisuuksia. Ensimmäisen yhtälön x ja toisen yhtälön x ovat sama luku.

Yhtälöparin ratkaisu graafisesti

Yhtälöparin voi ratkaista graafisesti piirtämällä ne koordinaatistolle ja katsomalla leikkauspisteen. Huomaa, että tällöin molempien pitää alkaa "$y=$". Yhtälöpareja voi muuttaa niin, että molemmat yhtälöt alkavat em. tavalla.

Yhtälöparin $\{\begin{array}{c}y=2x+3\\ y=3x-1\end{array}$ ratkaisu graafisesti:

x = 4 ja y = 11.

Yhtälöparin ratkaisu sijoitusmenetelmällä

Käytetään samaa yhtälöparia kuin yllä: $\{\begin{array}{c}y=2x+3\\ y=3x-1\end{array}$.

Koska molempien yhtälöiden y:iden arvot ovat samat, myös arvot $2x+3$ ja $3x-1$ ovat samat. Siispä $2x+3=3x-1$.

$2x+3=3x-1$

$-x=-4$

$x=4$

y:n arvo ratkaistaan sijoittamalla x jompaan kumpaan yhtälöön. x kannattaa sijoittaa yhtälöön, jossa yhtälö on helpompi. Tässä tapauksessa molemmat yhtälöt ovat yhtä helppoja. Sijoitetaan x ylempään yhtälöön.

$y=2\cdot 4+3$

$y=11$

Toinen ratkaisutapa sijoittamalla on se, että kerrottu y:n arvo sijoitetaan toisen yhtälön y:n tilalle:

$\{\begin{array}{c}y=2x+3\\ x+2=y-3\end{array}$

$x+2=(2x+3)-3$

$x+2=2x+3-3$

$x+2=2x$

$-x=-2$

$x=2$

$y=2\cdot 2+3$

$y=7$

V: x=2, y=7.

Tässä tavassa pitää muistaa, että jos polynomia edeltää miinus, se vaikuttaa kaikkiin monomeihin.

$\{\begin{array}{c}y=x-3\\ 3+2x=18-y\end{array}$

$3+2x=18-(x-3)$

$3+2x=18-x+3$

$3x=18$

$x=6$

$y=6-3$

$y=3$

V: x=6, y=3.

Yhtälöparin ratkaiseminen allekkainlaskuna

Yhtälöparista voi tehdä allekkainlaskun. Allekkainlaskussa yhtälöistä saadaan jokin yksirivinen yhtälö. Tavoitteena on, että yksirivisessä yhtälössä on vain yksi muuttuja, jolloin se on ratkaistavissa.

$\begin{array}{c}\text{}\\ -\end{array}\{\begin{array}{c}x+y=8\\ x-y=4\end{array}$

Tällöin vähentämällä saamme $2y=4$.

$2y=4$

$y=\frac{4}{2}$

$y=2$

Sijoitetaan y helpommin ratkaistavassa olevaan yhtälöön.

$x-2=4$

$x=4+2$

$x=6$

Vastaus: x=6, y=2. Joskus allekkain yhtälöparin ratkaisemiseen pitää kertoa jomman kumman yhtälön kaikki jäsenet tietyllä luvulla, jotta allekkainlaskussa saadaan jompi kumpi muuttuja kokonaan eliminoitua.

$\{\begin{array}{cc}x+4=9+y& \text{II}\cdot \text{2}\\ 2x=7-y\end{array}$

Tästä saadaan kertomalla ylempi yhtälö kahdella seuraava yhtälöpari:

$\begin{array}{c}\text{}\\ -\end{array}\{\begin{array}{c}2x+8=18+2\\ 2x=7-y\end{array}$

Jonka jälkeen lasketaan muuttujat:

$8=11+3y$

$3y=-3$

$y=-1$

Sijoitetaan y alkuperäiseen helppoon yhtälöön.

$x+4=9+(-1)$

$x=9-1-4$

$x=4$

Vastaus: x=4, y=-1.

Yhtälöryhmä

Yhtälöryhmässä voi olla enemmän yhtälöitä kuin kaksi. Seuraavassa esimerkki yhtälöryhmästä:

$\{\begin{array}{c}x+y+2z=6\\ x-2y+z=-8\\ 2x+3y-z=22\end{array}$

Tästä yhtälöryhmästä tehdään kaksi eri yhtälöparia, molemmissa kaksi yhtälöä, jotka ovat molemmat suoraan yhtälöryhmästä. Molemmissa yhtälöpareissa eliminoidaan sama muuttuja. Eliminoidaan x ja tehdään yhtälöryhmästä seuraavat yhtälöparit:

$\{\begin{array}{c}x+y+2z=6\\ x-2y+z=-8\end{array}$

$\{\begin{array}{c}x-2y+z=-8\\ 2x+3y-z=22\end{array}$

Eliminoidaan ensin 1. yhtälöryhmästä x vähennyslaskulla.

$\begin{array}{c}\text{}\\ -\end{array}\{\begin{array}{c}x+y+2z=6\\ x-2y+z=-8\end{array}$

Tästä saadaan yhtälö $3y+z=14$. Seuraavaksi toinen yhtälöpari, josta eliminoidaan sama muuttuja, x.

$\{\begin{array}{c}x-2y+z=-8\\ 2x+3y-z=22\end{array}$

Kerrotaan ylempi yhtälö kahdella, jotta saamme eliminoitua x:n.

$\begin{array}{c}\text{}\\ -\end{array}\{\begin{array}{c}2x-4y+2z=-16\\ 2x+3y-z=22\end{array}$

Saadaan yhtälö $-7y+3z=-38$.

Laitetaan saadut yhtälöt uuteen yhtälöpariin.

$\{\begin{array}{c}3y+z=14\\ -7y+3z=-38\end{array}$

Eliminoidaan jompi kumpi muuttuja. z:n eliminointi on helpompaa, joten eliminoidaan se. Kerrotaan ensin ylempi yhtälö kolmella.

$\begin{array}{c}\text{}\\ -\end{array}\{\begin{array}{c}9y+3z=42\\ -7y+3z=-38\end{array}$

Tästä saadaan yhtälö $16y=80$.

$16y=80$

Jaetaan molemmat puolet kuudellatoista.

$y=5$

Sijoitetaan 5 y:n tilalle johonkin kahden muuttujan yhtälöön. Helpompi on $3y+z=14$, joten käytetään sitä.

$3\cdot 5+z=14$

$15+z=14$

$z=-1$

Sijoitetaan y ja z kolmen muuttujan yhtälöön.

$x+y+2z=6$

$x+5+2\cdot (-1)=6$

$x+3=6$

$x=3$

Vastaus: x = 3, y = 5 ja z = -1.

Tehtäviä

Vastauksen saa esiin maalaamalla.

1. Tehtävä: Ratkaise yhtälöparit.

$\{\begin{array}{c}y=x+1\\ y=8-6x\end{array}$ V: x=1, y=2

$\{\begin{array}{c}x+8=19-y\\ y=x+3\end{array}$ V: x=4, y=7

$\{\begin{array}{c}2x+y=15\\ -x+y=6\end{array}$ V: x=3, y=9

2. Teatteriin myytiin yhteensä 160 lippua. Lastenlippu maksoi 4 € ja aikuisten 6 €. Lipuista saatiin 820 €. Laske myytyjen lastenlippujen ja aikuisten lippujen lkm. V: 90 aikuisten lippua, 70 lastenlippua